题目
计算下列定积分。-|||-(int )_(0)^1x(e)^-dfrac ({x^2)(2)}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元法
令 $u = -\dfrac{{x}^{2}}{2}$，则 $du = -x dx$，即 $x dx = -du$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}dx$ 转换为 ${\int }_{0}^{1}{e}^{u}(-du)$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}{e}^{u}(-du)$，得到 $-{\int }_{0}^{1}{e}^{u}du$。
步骤 4：计算定积分
计算定积分 $-{\int }_{0}^{1}{e}^{u}du = -{e}^{u}{|}_{0}^{1} = -{e}^{-\dfrac{{x}^{2}}{2}}{|}_{0}^{1}$。
步骤 5：代入上下限
代入上下限，得到 $-{e}^{-\dfrac{{1}^{2}}{2}} + {e}^{-\dfrac{{0}^{2}}{2}} = -{e}^{-\dfrac{1}{2}} + {e}^{0} = 1 - {e}^{-\dfrac{1}{2}}$。
令 $u = -\dfrac{{x}^{2}}{2}$，则 $du = -x dx$，即 $x dx = -du$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}dx$ 转换为 ${\int }_{0}^{1}{e}^{u}(-du)$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}{e}^{u}(-du)$，得到 $-{\int }_{0}^{1}{e}^{u}du$。
步骤 4：计算定积分
计算定积分 $-{\int }_{0}^{1}{e}^{u}du = -{e}^{u}{|}_{0}^{1} = -{e}^{-\dfrac{{x}^{2}}{2}}{|}_{0}^{1}$。
步骤 5：代入上下限
代入上下限，得到 $-{e}^{-\dfrac{{1}^{2}}{2}} + {e}^{-\dfrac{{0}^{2}}{2}} = -{e}^{-\dfrac{1}{2}} + {e}^{0} = 1 - {e}^{-\dfrac{1}{2}}$。