题目
设 L 是由原点 O 沿 y=x^2 到点 A(1,1)，再由点 A 沿直线 y=x 到原点的闭曲线，则 int_(L) arctan (y)/(x) , dy - dx = ( )。 A. (pi)/(2) - 1B. 1 - (pi)/(4)C. (pi)/(4) - 1D. (pi)/(2) - 2
设 $L$ 是由原点 $O$ 沿 $y=x^2$ 到点 $A(1,1)$，再由点 $A$ 沿直线 $y=x$ 到原点的闭曲线，则
$\int_{L} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = (\quad)$。
- A. $\frac{\pi}{2} - 1$
- B. $1 - \frac{\pi}{4}$
- C. $\frac{\pi}{4} - 1$
- D. $\frac{\pi}{2} - 2$
题目解答
答案
将曲线 $L$ 分为两段：
1. **段 $L_1$：** 从原点 $O$ 沿 $y = x^2$ 到点 $A(1,1)$，
\[
\int_{L_1} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_0^1 \arctan x \cdot 2x \, dx - dx = \frac{\pi}{2} - 2.
\]
2. **段 $L_2$：** 从点 $A$ 沿 $y = x$ 回原点，
\[
\int_{L_2} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_1^0 \frac{\pi}{4} \, dx - dx = 1 - \frac{\pi}{4}.
\]
两段积分相加：
\[
\oint_L \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \left( \frac{\pi}{2} - 2 \right) + \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} - 1.
\]
答案：$\boxed{C}$
解析
步骤 1：将曲线 $L$ 分为两段
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从原点 $O$ 沿 $y = x^2$ 到点 $A(1,1)$，$L_2$ 是从点 $A$ 沿直线 $y = x$ 回原点。
步骤 2：计算 $L_1$ 段的积分
在 $L_1$ 段上，$y = x^2$，因此 $dy = 2x \, dx$。代入积分表达式，得到
\[ \int_{L_1} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_0^1 \arctan x \cdot 2x \, dx - dx. \]
利用分部积分法，设 $u = \arctan x$，$dv = 2x \, dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$，$v = x^2$。因此，
\[ \int_0^1 \arctan x \cdot 2x \, dx = \left[ x^2 \arctan x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx = \frac{\pi}{4} - \left[ x - \arctan x \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 1. \]
因此，$L_1$ 段的积分结果为 $\frac{\pi}{2} - 2$。
步骤 3：计算 $L_2$ 段的积分
在 $L_2$ 段上，$y = x$，因此 $dy = dx$。代入积分表达式，得到
\[ \int_{L_2} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_1^0 \frac{\pi}{4} \, dx - dx = \frac{\pi}{4} \int_1^0 dx - \int_1^0 dx = \frac{\pi}{4} \cdot (-1) - (-1) = 1 - \frac{\pi}{4}. \]
步骤 4：计算整个曲线 $L$ 的积分
将 $L_1$ 和 $L_2$ 段的积分结果相加，得到
\[ \oint_L \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \left( \frac{\pi}{2} - 2 \right) + \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} - 1. \]
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从原点 $O$ 沿 $y = x^2$ 到点 $A(1,1)$，$L_2$ 是从点 $A$ 沿直线 $y = x$ 回原点。
步骤 2：计算 $L_1$ 段的积分
在 $L_1$ 段上，$y = x^2$，因此 $dy = 2x \, dx$。代入积分表达式，得到
\[ \int_{L_1} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_0^1 \arctan x \cdot 2x \, dx - dx. \]
利用分部积分法，设 $u = \arctan x$，$dv = 2x \, dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$，$v = x^2$。因此，
\[ \int_0^1 \arctan x \cdot 2x \, dx = \left[ x^2 \arctan x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx = \frac{\pi}{4} - \left[ x - \arctan x \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 1. \]
因此，$L_1$ 段的积分结果为 $\frac{\pi}{2} - 2$。
步骤 3：计算 $L_2$ 段的积分
在 $L_2$ 段上，$y = x$，因此 $dy = dx$。代入积分表达式，得到
\[ \int_{L_2} \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \int_1^0 \frac{\pi}{4} \, dx - dx = \frac{\pi}{4} \int_1^0 dx - \int_1^0 dx = \frac{\pi}{4} \cdot (-1) - (-1) = 1 - \frac{\pi}{4}. \]
步骤 4：计算整个曲线 $L$ 的积分
将 $L_1$ 和 $L_2$ 段的积分结果相加，得到
\[ \oint_L \arctan \frac{y}{x} \, dy - dx = \left( \frac{\pi}{2} - 2 \right) + \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} - 1. \]