题目
3.计算曲线积分int_(L)(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy，其中L是曲线y=1-|1-x|从点(0,0)到点(2,0)的一段。
3.计算曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})dx+(x^{2}-y^{2})dy$，其
中L是曲线$y=1-|1-x|$从点(0,0)到点(2,0)
的一段。
题目解答
答案
将曲线 $L$ 分为两段：
1. $L_1: y = x$（从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$），则 $dy = dx$，积分变为
\[
\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}.
\]
2. $L_2: y = 2 - x$（从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$），则 $dy = -dx$，积分变为
\[
\int_{1}^{2} [2x^2 - 8x + 8] \, dx = \frac{2}{3}.
\]
两段积分相加得
\[
\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{4}{3}}$
解析
步骤 1：将曲线 $L$ 分为两段
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，$L_2$ 是从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$。$L_1$ 的方程为 $y = x$，$L_2$ 的方程为 $y = 2 - x$。
步骤 2：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y = x$，$dy = dx$。因此，曲线积分变为
\[ \int_{L_1} (x^2 + y^2)dx + (x^2 - y^2)dy = \int_{0}^{1} (x^2 + x^2)dx + (x^2 - x^2)dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}. \]
步骤 3：计算 $L_2$ 上的积分
在 $L_2$ 上，$y = 2 - x$，$dy = -dx$。因此，曲线积分变为
\[ \int_{L_2} (x^2 + y^2)dx + (x^2 - y^2)dy = \int_{1}^{2} (x^2 + (2 - x)^2)dx + (x^2 - (2 - x)^2)(-dx) = \int_{1}^{2} [2x^2 - 8x + 8] dx = \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 + 8x \Big|_{1}^{2} = \frac{2}{3}. \]
步骤 4：计算总积分
将 $L_1$ 和 $L_2$ 上的积分相加，得到总积分
\[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，$L_2$ 是从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$。$L_1$ 的方程为 $y = x$，$L_2$ 的方程为 $y = 2 - x$。
步骤 2：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y = x$，$dy = dx$。因此，曲线积分变为
\[ \int_{L_1} (x^2 + y^2)dx + (x^2 - y^2)dy = \int_{0}^{1} (x^2 + x^2)dx + (x^2 - x^2)dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}. \]
步骤 3：计算 $L_2$ 上的积分
在 $L_2$ 上，$y = 2 - x$，$dy = -dx$。因此，曲线积分变为
\[ \int_{L_2} (x^2 + y^2)dx + (x^2 - y^2)dy = \int_{1}^{2} (x^2 + (2 - x)^2)dx + (x^2 - (2 - x)^2)(-dx) = \int_{1}^{2} [2x^2 - 8x + 8] dx = \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 + 8x \Big|_{1}^{2} = \frac{2}{3}. \]
步骤 4：计算总积分
将 $L_1$ 和 $L_2$ 上的积分相加，得到总积分
\[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]