21. lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(2+x))}^3x

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$1^\infty$型不定式的极限问题。需要掌握对数转换法和等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：
当遇到$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}$且$f(x) \to 1$、$g(x) \to \infty$时，通常通过以下步骤处理：

1. 取自然对数，将指数运算转化为乘法；
2. 化简表达式，利用等价无穷小替换简化运算；
3. 求极限后取指数，得到原式的极限值。

破题关键点：
将$\dfrac{x}{2+x}$变形为$1 - \dfrac{2}{2+x}$，并利用$\ln(1+t) \sim t$（当$t \to 0$时）进行替换。

步骤1：取自然对数
设原式为$L = \lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{x}{2+x} \right)^{3x}$，取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 3x \cdot \ln \left( \dfrac{x}{2+x} \right)$

步骤2：化简对数表达式
将$\dfrac{x}{2+x}$变形为$\dfrac{1}{1+\frac{2}{x}}$，则：
$\ln \left( \dfrac{x}{2+x} \right) = \ln \left( \dfrac{1}{1+\frac{2}{x}} \right) = -\ln \left( 1 + \dfrac{2}{x} \right)$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \to \infty$时，$\dfrac{2}{x} \to 0$，利用$\ln(1+t) \sim t$（$t \to 0$），得：
$-\ln \left( 1 + \dfrac{2}{x} \right) \sim -\dfrac{2}{x}$

步骤4：求极限
代入$\ln L$的表达式：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 3x \cdot \left( -\dfrac{2}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} (-6) = -6$

步骤5：取指数得结果
原式为：
$L = e^{\ln L} = e^{-6} = \dfrac{1}{e^6}$