求下列函数当 arrow 0 时的左、右极限,并指出当x→0时极限是否-|||-存在.-|||-(x)=dfrac (|x|)(x);

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左右极限计算，以及极限存在的条件。

解题核心思路：

1. 分段讨论：由于函数$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$在$x=0$处无定义，且绝对值函数在$x>0$和$x<0$时的表达式不同，需分别计算左极限（$x \to 0^-$）和右极限（$x \to 0^+$）。
2. 化简表达式：根据$x$的正负性，将绝对值符号展开，化简后求极限。
3. 判断极限存在性：若左右极限相等，则极限存在；否则不存在。

破题关键点：

• 绝对值的处理：当$x>0$时，$|x|=x$；当$x<0$时，$|x|=-x$。
• 分母不为零：虽然$x=0$时函数无定义，但极限讨论的是$x$趋近于0的过程，而非$x=0$的函数值。

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$x$为负数，因此$|x| = -x$。
代入函数得：
$f(x) = \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{-x}{x} = -1$
因此，左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$x$为正数，因此$|x| = x$。
代入函数得：
$f(x) = \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{x} = 1$
因此，右极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$

极限存在性判断

由于左极限（$-1$）与右极限（$1$）不相等，故当$x \to 0$时，函数$f(x)$的极限不存在。