设 A 为 n×n 矩阵， r(A)=r<n ，那么 A 的 n 个列向量中 () A. 任意 r 个列向量线性无关B. 必有某 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量均构成极大线性无关组D. 任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示

考查要点：本题主要考查矩阵秩与列向量线性相关性的关系，重点理解极大线性无关组的定义及性质。

解题核心思路：

1. 秩的定义：矩阵的秩是其列（行）向量组的最大线性无关组所含向量个数。
2. 关键结论：若矩阵秩为$r$，则列向量中必存在$r$个线性无关的向量，但并非任意$r$个向量都无关，且极大线性无关组不唯一，但每个极大组必须能线性表示所有向量。
3. 反例分析：通过构造特殊矩阵（如对角矩阵、零向量等），验证选项的正确性。

选项分析

选项B正确性证明

• 由$r(A)=r$，根据秩的定义，列向量中必存在$r$个线性无关的向量，因此选项B正确。

选项A错误性分析

• 反例：设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，秩$r=1$，但第二个列向量为零向量，单独一个零向量线性相关，故选项A错误。

选项C错误性分析

• 反例：设$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，秩$r=2$。前两列$\alpha_1,\alpha_2$线性无关且构成极大组，但若选$\alpha_1,\alpha_3$（其中$\alpha_3=\alpha_1$），则无法表示$\alpha_2$，故选项C错误。

选项D错误性分析

• 反例：设$A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，秩$r=3$。第一个列向量$\alpha_1$无法由$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$（其中$\alpha_4$为零向量）线性表示，故选项D错误。