题目

设 A 为 n×n 矩阵， r(A)=r<n ，那么 A 的 n 个列向量中 () A. 任意 r 个列向量线性无关B. 必有某 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量均构成极大线性无关组D. 任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示

设 A 为 n×n 矩阵， r(A)=r<n ，那么 A 的 n 个列向量中 ()


A. 任意 r 个列向量线性无关
B. 必有某 r 个列向量线性无关
C. 任意 r 个列向量均构成极大线性无关组
D. 任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示

题目解答

答案

由 A 为 n×n 矩阵， r(A)=r<n ，知 A 的行向量组的秩和列向量组的秩都是 r

因此 A 的 n 个列向量必有 r 个列向量线性无关，故 B 正确；

但不能保证任意 r 个列向量线性无关，如 A=(1000) ，其秩为 1 ，但第二个列向量是线性相关的，故 A 错误；

第二个列向量也就不是极大无关组，故 C 错误；

也不能保证任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示，如

A=⎛⎝⎜⎜⎜1000010000100000⎞⎠⎟⎟⎟ ，第一个列向量就不能由后面的三个列向量线性表示。

故 D 错误；

故选：B.

解析

步骤 1：理解矩阵的秩
矩阵 A 的秩 r(A) 定义为矩阵 A 的行向量组的秩和列向量组的秩，即 r(A) 是矩阵 A 的行向量组和列向量组的最大线性无关组的向量个数。由于 r(A) = r < n，说明矩阵 A 的行向量组和列向量组的最大线性无关组的向量个数为 r，小于 n。

步骤 2：分析选项 A
选项 A 说任意 r 个列向量线性无关。这不正确，因为虽然矩阵 A 的列向量组的秩为 r，但并不意味着任意 r 个列向量都线性无关。例如，矩阵 A = (1 0; 0 0) 的秩为 1，但第二个列向量是线性相关的。

步骤 3：分析选项 B
选项 B 说必有某 r 个列向量线性无关。这是正确的，因为矩阵 A 的列向量组的秩为 r，说明存在 r 个线性无关的列向量。

步骤 4：分析选项 C
选项 C 说任意 r 个列向量均构成极大线性无关组。这不正确，因为虽然矩阵 A 的列向量组的秩为 r，但并不意味着任意 r 个列向量都构成极大线性无关组。例如，矩阵 A = (1 0; 0 0) 的秩为 1，但第二个列向量不是极大线性无关组。

步骤 5：分析选项 D
选项 D 说任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示。这不正确，因为虽然矩阵 A 的列向量组的秩为 r，但并不意味着任意 1 个列向量均可由其余 n−1 个列向量线性表示。例如，矩阵 A = (1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0) 的秩为 3，但第一个列向量不能由后面的三个列向量线性表示。