题目
3.应用格林公式计算int_(L)(e^x+y)dx+(e^y-x)dy，其中C为逆时针三角形顶点(0,0)，(0,1)，(1,0)。答案：-1
3.应用格林公式计算$\int_{L}(e^{x}+y)dx+(e^{y}-x)dy$，其中C为逆时针三角形顶点(0,0)，(0,1)，(1,0)。答案：-1
题目解答
答案
设 $P(x,y) = e^x + y$，$Q(x,y) = e^y - x$，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1.
\]
由格林公式得
\[
\int_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} -2 \, dA.
\]
区域 $D$ 为顶点为 $(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$ 的三角形，面积为 $\frac{1}{2}$，故
\[
\iint_{D} -2 \, dA = -2 \times \frac{1}{2} = -1.
\]
或直接计算二重积分为
\[
-2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \, dy \, dx = -2 \int_{0}^{1} (1-x) \, dx = -1.
\]
答案：$\boxed{-1}$
解析
步骤 1：定义函数
设 $P(x,y) = e^x + y$，$Q(x,y) = e^y - x$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 $\frac{\partial Q}{\partial x} = -1$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1$。
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有 $\int_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$。将偏导数代入，得到 $\iint_{D} -2 \, dA$。
步骤 4：计算二重积分
区域 $D$ 为顶点为 $(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$ 的三角形，面积为 $\frac{1}{2}$，故 $\iint_{D} -2 \, dA = -2 \times \frac{1}{2} = -1$。
设 $P(x,y) = e^x + y$，$Q(x,y) = e^y - x$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 $\frac{\partial Q}{\partial x} = -1$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1$。
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有 $\int_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$。将偏导数代入，得到 $\iint_{D} -2 \, dA$。
步骤 4：计算二重积分
区域 $D$ 为顶点为 $(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$ 的三角形，面积为 $\frac{1}{2}$，故 $\iint_{D} -2 \, dA = -2 \times \frac{1}{2} = -1$。