[题目]-|||-已知 =3(x)^3arcsin x+((x)^2+2)sqrt (1-{x)^2} ,求dy。

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是乘积法则和链式法则的应用，以及微分的基本概念。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆分为两个部分，分别求导后再相加。
2. 应用乘积法则：对每个部分中的乘积项分别求导。
3. 化简表达式：通过代数运算合并同类项，发现部分项相互抵消，最终得到简化结果。

破题关键点：

• 识别乘积结构：正确识别函数中的乘积项（如 $3x^3 \cdot \arcsin x$ 和 $(x^2+2) \cdot \sqrt{1-x^2}$）。
• 导数公式的应用：熟练运用 $\arcsin x$ 的导数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 和 $\sqrt{1-x^2}$ 的导数 $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。
• 代数化简技巧：通过通分合并项，发现中间项抵消的规律。

步骤1：分解函数
将 $y$ 分解为两部分：
$y = 3x^3 \arcsin x + (x^2 + 2)\sqrt{1 - x^2}$

步骤2：对第一部分求导
设 $u = 3x^3$，$v = \arcsin x$，应用乘积法则：
$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

• $u' = 9x^2$
• $v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
  因此，第一部分的导数为：
  $9x^2 \arcsin x + 3x^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

步骤3：对第二部分求导
设 $f = x^2 + 2$，$g = \sqrt{1 - x^2}$，应用乘积法则：
$\frac{d}{dx}(fg) = f'g + fg'$

• $f' = 2x$
• $g' = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$
  因此，第二部分的导数为：
  $2x \sqrt{1 - x^2} + (x^2 + 2) \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$

步骤4：合并所有导数项
将两部分的导数相加：
$\begin{aligned}y' &= 9x^2 \arcsin x + \frac{3x^3}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x \sqrt{1 - x^2} - \frac{x(x^2 + 2)}{\sqrt{1 - x^2}} \\&= 9x^2 \arcsin x + \frac{3x^3 - x(x^2 + 2)}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x \sqrt{1 - x^2}\end{aligned}$

步骤5：化简表达式

1. 处理分式项：
   $3x^3 - x(x^2 + 2) = 3x^3 - x^3 - 2x = 2x^3 - 2x$
2. 通分合并：
   将 $2x \sqrt{1 - x^2}$ 写成 $\frac{2x(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}}$，与分式项合并：
   $\frac{2x^3 - 2x + 2x(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x^3 - 2x + 2x - 2x^3}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$
3. 最终结果：
   所有中间项抵消，仅剩 $y' = 9x^2 \arcsin x$。