题目

单选题（共30题，45.0分） 题型说明：单选题 29. (1.5分) 若f() A→B是单射，则（） A |A|≤|B| B |A.|≥|B.| C. f是满射 D. f存在逆映射

单选题（共30题，45.0分） 题型说明：单选题 29. (1.5分) 若f() A→B是单射，则（） A |A|≤|B| B |
A.|≥|
B.|
C. f是满射
D. f存在逆映射

题目解答

答案

为了确定正确答案，让我们分析给定的条件和选项。题目说明 $ f: A \to B $ 是一个单射函数。单射函数，也称为一对一函数，意味着对于每个 $ b \in B $，在 $ A $ 中最多有一个 $ a $ 使得 $ f(a) = b $。 让我们评估每个选项： A. $ |A| \leq |B| $ - 如果 $ f $ 是单射的，那么 $ A $ 中的每个元素在 $ B $ 中都有一个唯一的像。这意味着 $ B $ 中的元素数量至少与 $ A $ 中的元素数量一样多。因此，$ |A| \leq |B| $ 是正确的。 B. $ |A| \geq |B| $ - 这不一定正确。如果 $ f $ 是单射的，它并不意味着 $ B $ 中的每个元素在 $ A $ 中都有一个原像。 $ B $ 中的元素数量可能大于 $ A $ 中的元素数量，但 $ A $ 中的每个元素在 $ B $ 中仍然映射到一个唯一的元素。因此， $ |A| \geq |B| $ 是不正确的。 C. $ f $ 是满射 - 满射函数，也称为映射，意味着 $ B $ 中的每个元素在 $ A $ 中至少有一个原像。单射函数不一定是满射的。例如，函数 $ f: \{1, 2\} \to \{1, 2, 3\} $ 定义为 $ f(1) = 1 $ 和 $ f(2) = 2 $ 是单射的，但不是满射的，因为 $ B $ 中的元素3在 $ A $ 中没有原像。因此， $ f $ 是满射的不正确。 D. $ f $ 存在逆映射 - 为了使函数 $ f $ 存在逆映射，它必须是双射的，即既是单射的也是满射的。由于 $ f $ 不一定满射，它不一定存在逆映射。因此， $ f $ 存在逆映射是不正确的。 根据分析，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

单射函数的核心性质是不同元素映射到不同元素，即若$f(a_1)=f(a_2)$，则$a_1=a_2$。本题需结合集合基数关系与映射类型的关系进行判断：

  1. 单射保证集合$A$的元素在$B$中“一一对应”，但不强制$B$的所有元素被覆盖；
  2. 单射的逆映射存在需同时满足满射；
  3. 集合基数比较需通过单射的“一一对应”特性推导。

选项分析

选项A：$|A| \leq |B|$

  • 单射要求$A$中每个元素在$B$中有唯一像，因此$B$的元素数量至少与$A$相同，即$|A| \leq |B|$成立。

选项B：$|A| \geq |B|$

  • 若$|A| \geq |B|$，则单射无法保证（例如$A$元素过多会导致像重复）。单射仅要求像唯一，不强制基数关系相反，故错误。

选项C：$f$是满射

  • 单射与满射无必然联系。例如$f: \{1,2\} \to \{1,2,3\}$定义为$f(1)=1, f(2)=2$，是单射但非满射，故错误。

选项D：$f$存在逆映射

  • 逆映射存在的充要条件是双射（单射且满射）。题目未说明$f$是满射，故错误。