题目
证明：当时，与等价。
证明：当
时，
与
等价。
题目解答
答案
∵
分子分母同乘
得：
上式
∴当时，与等价
原题得证
解析
步骤 1：确定等价无穷小的定义
等价无穷小的定义是：当$x\rightarrow 0$时，如果$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小。
步骤 2：计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x}}{x}$
为了计算这个极限，我们首先对分子进行有理化处理，即乘以$\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}$，这样可以消去根号，简化计算。
步骤 3：化简并求极限
化简后，我们得到一个可以求极限的形式，然后计算这个极限。
等价无穷小的定义是：当$x\rightarrow 0$时，如果$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小。
步骤 2：计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x}}{x}$
为了计算这个极限，我们首先对分子进行有理化处理，即乘以$\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}$，这样可以消去根号，简化计算。
步骤 3：化简并求极限
化简后，我们得到一个可以求极限的形式，然后计算这个极限。