设'(x)=arcsin ((x-1))^2 (0)=0, 求 (int )_(0)^1f(x)dx.

步骤 1：确定$f(x)$的表达式
由于$f'(x)=\arcsin {(x-1)}^{2}$，我们需要找到$f(x)$的表达式。注意到$f(0)=0$，这将帮助我们确定积分常数。
步骤 2：计算$f(x)$
$f(x) = \int \arcsin {(x-1)}^{2} dx$。由于直接积分比较困难，我们先不求出$f(x)$的具体表达式，而是直接利用$f(0)=0$来确定积分常数。
步骤 3：计算${\int }_{0}^{1}f(x)dx$
利用分部积分法，设$u=f(x)$，$dv=dx$，则$du=f'(x)dx$，$v=x$。因此，${\int }_{0}^{1}f(x)dx = [xf(x)]_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1}xf'(x)dx$。
步骤 4：计算${\int }_{0}^{1}xf'(x)dx$
${\int }_{0}^{1}xf'(x)dx = {\int }_{0}^{1}x\arcsin {(x-1)}^{2}dx$。这个积分可以通过换元法和分部积分法来解决。
步骤 5：计算最终结果
将步骤3和步骤4的结果代入，计算出${\int }_{0}^{1}f(x)dx$的值。