题目
lim _(xarrow 1)(dfrac (x)(x-1)-dfrac (1)(ln x))-|||-__ __
题目解答
答案
解析
步骤 1：将给定的极限表达式进行通分
将 $\dfrac {x}{x-1}$ 和 $\dfrac {1}{\ln x}$ 通分，得到一个共同的分母 $(x-1)(\ln x)$，从而得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {x}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow 1$ 时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母仍然趋近于0，再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1}$$
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子和分母仍然趋近于0，再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1}$$
步骤 5：计算极限
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1} = \dfrac {1}{2}$$
将 $\dfrac {x}{x-1}$ 和 $\dfrac {1}{\ln x}$ 通分，得到一个共同的分母 $(x-1)(\ln x)$，从而得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {x}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow 1$ 时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x-(x-1)}{(x-1)(\ln x)} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}}$$
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母仍然趋近于0，再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1-1}{\ln x+1-\dfrac {1}{x}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1}$$
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子和分母仍然趋近于0，再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln x}{x\ln x+x-1} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1}$$
步骤 5：计算极限
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\ln x+1}{\ln x+1+1} = \dfrac {1}{2}$$