题目
实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4．（1）求实数a，b的取值范围；（2）求3a-2b的取值范围．
实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求3a-2b的取值范围．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求3a-2b的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
两式相加得，-4≤2a≤6，则-2≤a≤3，
由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1，
又-3≤a+b≤2，两式相加得，-7≤2b≤3，即$-\frac{7}{2}≤b≤\frac{3}{2}$；
（2）设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴3a-2b=$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{5}{2}$（a-b），
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
∴$-\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}（a+b）≤1$，$-\frac{5}{2}≤\frac{5}{2}（a-b）≤10$，
则-4≤3a-2b≤11．
两式相加得，-4≤2a≤6，则-2≤a≤3，
由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1，
又-3≤a+b≤2，两式相加得，-7≤2b≤3，即$-\frac{7}{2}≤b≤\frac{3}{2}$；
（2）设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴3a-2b=$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{5}{2}$（a-b），
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
∴$-\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}（a+b）≤1$，$-\frac{5}{2}≤\frac{5}{2}（a-b）≤10$，
则-4≤3a-2b≤11．
解析
步骤 1：求a的取值范围
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，两式相加得，-4≤2a≤6，则-2≤a≤3，
步骤 2：求b的取值范围
由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1，又-3≤a+b≤2，两式相加得，-7≤2b≤3，即$-\frac{7}{2}≤b≤\frac{3}{2}$；
步骤 3：求3a-2b的取值范围
设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴3a-2b=$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{5}{2}$（a-b），
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
∴$-\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}（a+b）≤1$，$-\frac{5}{2}≤\frac{5}{2}（a-b）≤10$，
则-4≤3a-2b≤11．
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，两式相加得，-4≤2a≤6，则-2≤a≤3，
步骤 2：求b的取值范围
由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1，又-3≤a+b≤2，两式相加得，-7≤2b≤3，即$-\frac{7}{2}≤b≤\frac{3}{2}$；
步骤 3：求3a-2b的取值范围
设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴3a-2b=$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{5}{2}$（a-b），
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
∴$-\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}（a+b）≤1$，$-\frac{5}{2}≤\frac{5}{2}（a-b）≤10$，
则-4≤3a-2b≤11．