讨论函数f(x)= { ,xneq 0 0, x=0 .在x=0处的连续性与可导性

步骤 1：判断函数在x=0处的连续性
根据函数的定义，我们需要计算$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$并判断其是否等于f(0)。由于当$x\neq 0$时，$f(x)=x\sin \dfrac {1}{x}$，所以
$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$
由于$\sin \dfrac {1}{x}$的值域为[-1,1]，因此对于任意$x\neq 0$都有$-|x|\leqslant x\sin \dfrac {1}{x}\leqslant |x|$。根据夹逼定理，我们有
$\lim _{x\rightarrow 0}-|x|=\lim _{x\rightarrow 0}|x|=0$
所以
$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$
因此，函数在x=0处连续。

步骤 2：判断函数在x=0处的可导性
根据函数的定义，我们需要计算$f'(0)$并判断其是否存在。由于$x\neq 0$时，
$f'(x)=\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$
所以
$f'(0)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$
由于$\sin \dfrac {1}{x}$和$\cos \dfrac {1}{x}$都没有极限，所以$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$不存在。同理，当$x<0$时，
$f'(x)=\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$
所以
$f'(0)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$
由于$\sin \dfrac {1}{x}$和$\cos \dfrac {1}{x}$都没有极限，所以$\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\sin \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}\cos \dfrac {1}{x}$不存在。因此，函数在x=0处不可导。