2. (1) (2024, 数农) 设向量α_(1)=(1,0,1)^T,α_(2)=(-a,1,1)^T,α_(3)=(1,-a,1)^T,α_(4)=(1,1,-a)^T,则向量组α_(1),α_(2),α_(3),α_(4)的秩为3的充分必要条件是 (A.) (a-2)(a+1)≠0. (B.) a(a+1)≠0. (C.) a≠2. (D.) a≠-1.

步骤 1：构造矩阵
构造由向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 构成的矩阵 $A$，其形式为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -a & 1 \\ 0 & 1 & -a \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix} \]

步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -a & 1 \\ 0 & 1 & -a \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & -a \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -a \\ 1 & -a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (1 \cdot (-a) - (-a) \cdot 1) + a \cdot (0 \cdot (-a) - (-a) \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (-a + a) + a \cdot (0 + a) + 1 \cdot (0 - 1) \]
\[ = 0 + a^2 - 1 \]
\[ = a^2 - a \]
\[ = a(a - 1) \]

步骤 3：确定秩为3的条件
为使向量组秩为3，需 $\det(A) \neq 0$，即 $a(a + 1) \neq 0$，解得 $a \neq 0$ 且 $a \neq -1$。 选项中，只有 (B) $a(a+1) \neq 0$ 满足条件。