题目
求由曲线y=x^2，y=x+2围成的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积V.
求由曲线$$y=x^2$$，$$y=x+2$$围成的图形绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积$$V$$.
题目解答
答案
直线$$y=x+2$$与$$y$$轴的交点的坐标为$$C(0，2)$$;
令$$x^2=x+2$$，得$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$$$=0$$，故得$$x_1=-1$$，$$x_2=2$$;
即直线$$y=x+2$$与抛物线$$y=x^2$$的交点为$$A(-1，1)$$，$$B(2，4)$$;
直线段$$CB$$绕$$y$$轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，该圆锥的底面半径为2，圆锥高为2;
其体积等于$$\frac{8}{3} \pi$$;
故所求旋转体的体积$$V=\int_{0}^{4} {\pi x^2}\,{\rm dy}-\frac{8}{3} \pi$$$$=\int_{0}^{4} {\pi y}\,{\rm dy}-\frac{8}{3} \pi$$$$=\frac{\pi}{2}|^4_0-\frac{8}{3}\pi$$$$=8\pi- \frac{8}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi$$.
解析
步骤 1：确定曲线交点
首先，我们需要找到曲线$$y=x^2$$和$$y=x+2$$的交点。为此，我们解方程$$x^2=x+2$$，即$$x^2-x-2=0$$。解这个方程，我们得到$$x_1=-1$$和$$x_2=2$$。因此，交点为$$A(-1,1)$$和$$B(2,4)$$。
步骤 2：确定旋转体的体积
旋转体的体积可以通过计算两个旋转体的体积之差来得到。一个旋转体是由直线$$y=x+2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的，另一个旋转体是由曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的。我们首先计算由直线$$y=x+2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的圆锥的体积，然后计算由曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积，最后将两者相减。
步骤 3：计算圆锥的体积
直线$$y=x+2$$与$$y$$轴的交点为$$C(0,2)$$，与曲线$$y=x^2$$的交点为$$B(2,4)$$。因此，圆锥的底面半径为2，圆锥高为2。圆锥的体积为$$V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi (2)^2 (2)=\frac{8}{3}\pi$$。
步骤 4：计算曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积
我们使用圆盘法计算旋转体的体积。体积$$V$$可以通过积分$$V=\int_{0}^{4} \pi x^2\,{\rm dy}$$来计算。由于$$y=x^2$$，我们有$$x=\sqrt{y}$$。因此，$$V=\int_{0}^{4} \pi (\sqrt{y})^2\,{\rm dy}=\int_{0}^{4} \pi y\,{\rm dy}=\frac{\pi}{2}y^2|^4_0=\frac{\pi}{2}(4^2-0^2)=8\pi$$。
步骤 5：计算旋转体的体积
旋转体的体积$$V$$等于曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积减去圆锥的体积，即$$V=8\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{24}{3}\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi$$。
首先，我们需要找到曲线$$y=x^2$$和$$y=x+2$$的交点。为此，我们解方程$$x^2=x+2$$，即$$x^2-x-2=0$$。解这个方程，我们得到$$x_1=-1$$和$$x_2=2$$。因此，交点为$$A(-1,1)$$和$$B(2,4)$$。
步骤 2：确定旋转体的体积
旋转体的体积可以通过计算两个旋转体的体积之差来得到。一个旋转体是由直线$$y=x+2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的，另一个旋转体是由曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的。我们首先计算由直线$$y=x+2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的圆锥的体积，然后计算由曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积，最后将两者相减。
步骤 3：计算圆锥的体积
直线$$y=x+2$$与$$y$$轴的交点为$$C(0,2)$$，与曲线$$y=x^2$$的交点为$$B(2,4)$$。因此，圆锥的底面半径为2，圆锥高为2。圆锥的体积为$$V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi (2)^2 (2)=\frac{8}{3}\pi$$。
步骤 4：计算曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积
我们使用圆盘法计算旋转体的体积。体积$$V$$可以通过积分$$V=\int_{0}^{4} \pi x^2\,{\rm dy}$$来计算。由于$$y=x^2$$，我们有$$x=\sqrt{y}$$。因此，$$V=\int_{0}^{4} \pi (\sqrt{y})^2\,{\rm dy}=\int_{0}^{4} \pi y\,{\rm dy}=\frac{\pi}{2}y^2|^4_0=\frac{\pi}{2}(4^2-0^2)=8\pi$$。
步骤 5：计算旋转体的体积
旋转体的体积$$V$$等于曲线$$y=x^2$$绕$$y$$轴旋转一周生成的旋转体的体积减去圆锥的体积，即$$V=8\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{24}{3}\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{16}{3}\pi$$。