题目

已知 =ln (cos 4x)，则 =ln (cos 4x)

已知 $y=\ln(\cos4x)$ ，则 $y'=\left(\ \ \ \ \right)$

题目解答

答案

由题意，已知

函数 $y=\ln(\cos4x)$

令 $u=\cos4x$

则， $y=\ln u$

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx}=-\sin4x\times\left(4x\right)'$

$=-4\sin4x$

将其代入复合函数求导法则计算，得

$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$

$=-\frac{4\sin4x}{u}$

$=-\frac{4\sin4x}{\cos4x}$

$=-4\tan4x$

解析

步骤 1：定义函数
已知函数 $y=\ln (\cos 4x)$，这是一个复合函数，其中外函数为 $y=\ln u$，内函数为 $u=\cos 4x$。
步骤 2：求内函数的导数
对内函数 $u=\cos 4x$ 求导，得到 $\dfrac {du}{dx}=-\sin 4x \times (4x)'=-4\sin 4x$。
步骤 3：应用复合函数求导法则
根据复合函数求导法则，$y'=\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {dy}{du}\times \dfrac {du}{dx}$，其中 $\dfrac {dy}{du}=\dfrac {1}{u}$，代入 $\dfrac {du}{dx}=-4\sin 4x$，得到 $y'=\dfrac {1}{\cos 4x} \times (-4\sin 4x)=-4\tan 4x$。