要使函数 f(x) = (sqrt(3+x) - sqrt(3-x))/(tan x) 在 x=0 处连续，应给 f(0) 补充定义的数值是 ( )。A. 1B. 2C. sqrt(2)D. (sqrt(3))/(3)

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型未定式的能力。

解题核心思路：
要使函数$f(x)$在$x=0$处连续，需补充定义$f(0)$为$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$的值。关键在于化简原式，消除分母和分子中的零因子，从而求出极限。

破题关键点：

1. 分子有理化：通过乘以共轭表达式消去根号差，将分子转化为多项式形式。
2. 利用等价无穷小：当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$，简化分母表达式。
3. 代数化简：结合上述两步，最终将极限转化为简单代数运算。

第一步：分子有理化

原函数为：
$f(x) = \frac{\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x}}{\tan x}$
对分子$\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x}$进行有理化：
$\begin{aligned}\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x} &= \frac{(\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}} \\&= \frac{(3+x) - (3-x)}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}} \\&= \frac{2x}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}}\end{aligned}$
因此，原式可化简为：
$f(x) = \frac{2x}{(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}) \cdot \tan x}$

第二步：计算极限

当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$，代入化简后的表达式：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}) \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}}$
进一步代入$x=0$：
$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

第三步：结论

为了使$f(x)$在$x=0$处连续，需定义$f(0) = \frac{\sqrt{3}}{3}$。