求微分方程 xdy+(x−2y)dx=0 的一个解 y=y(x), 使得由曲线 y=y(x) 与直线 x=1 , x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小。
求微分方程
题目解答
答案
微分方程
这是一阶线性微分方程
代入通解公式得
又由曲线
令
解得:
而
解析
微分方程 xdy+(x−2y)dx=0 可以化为 dy/dx−2y/x=−1,这是一阶线性微分方程,其中 P(x)=−2/x, Q(x)=−1。
步骤 2:求解一阶线性微分方程
代入一阶线性微分方程的通解公式 y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C),得到
y=e^(∫2/x dx)(∫−e^(−∫2/x dx)dx+C)=x^2(1/x+C)=x+C/x^2。
步骤 3:计算旋转体的体积
由曲线 y=x+C/x^2 与直线 x=1,x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积
V(C)=π∫_1^2 y^2 dx=π∫_1^2 (x+C/x^2)^2 dx=π[1/3x^3+C^2/x^4+C^2/5x^5]_1^2=π(31/5C^2+15/2C+7/3)。
步骤 4:求导数并求极值
V'(C)=π(62/5C+15/2),令 V'(C)=0,解得 C=−75/124。而 V''(C)=62/5π>0,所以 C=−75/124 是 V'(C)=0 的唯一极小值点,也就是最小值点。