题目
微分方程 y'' - 2y' - 3y = (2x + 1)e^-x 的特解形式是（ ）.A. y = (Ax + B)e^-xB. y = x^2 e^-xC. y = x^2 (Ax + B)e^-xD. y = x (Ax + B)e^-x
微分方程 $y'' - 2y' - 3y = (2x + 1)e^{-x}$ 的特解形式是（ ）. A. $y = (Ax + B)e^{-x}$ B. $y = x^2 e^{-x}$ C. $y = x^2 (Ax + B)e^{-x}$ D. $y = x (Ax + B)e^{-x}$
题目解答
答案
我们要求的是微分方程
$$
y'' - 2y' - 3y = (2x + 1)e^{-x}
$$
的**特解形式**。
---
### 第一步：写出对应的齐次方程
齐次方程为：
$$
y'' - 2y' - 3y = 0
$$
其特征方程为：
$$
r^2 - 2r - 3 = 0
$$
解这个方程：
$$
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 + 4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
$$
$$
r = 3, -1
$$
所以齐次方程的通解为：
$$
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}
$$
---
### 第二步：分析非齐次项 $(2x + 1)e^{-x}$
非齐次项是 $(2x + 1)e^{-x}$，是一个多项式乘以指数函数。
我们尝试用**待定系数法**来找特解形式。
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### 第三步：判断是否需要乘上 $x$ 的幂次
由于非齐次项中出现了 $e^{-x}$，而 $e^{-x}$ 已经是齐次方程的一个解（对应特征根 $r = -1$），所以我们要**提高幂次**，即在特解中乘上 $x^k$，其中 $k$ 是该特征根在齐次方程中出现的次数。
- $e^{-x}$ 对应的特征根 $r = -1$，在特征方程中是**单根**（出现一次）。
- 所以我们要在特解中乘上 $x^1 = x$。
因此，特解的形式应为：
$$
y_p = x(Ax + B)e^{-x}
$$
---
### 第四步：匹配选项
选项 D 是：
$$
y = x(Ax + B)e^{-x}
$$
这正是我们推导出的特解形式。
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### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{D. \ y = x(Ax + B)e^{-x}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，特别是当非齐次项与齐次解重复时的处理方式。
解题核心思路：
- 求解齐次方程的特征根，确定齐次解的形式；
- 分析非齐次项的结构，判断是否需要调整特解形式；
- 根据重复情况调整特解，若非齐次项中的指数项与齐次解重复，则需乘以$x$的幂次。
破题关键点：
- 特征根的判断：通过特征方程确定齐次解中的指数项；
- 重复项的处理：当非齐次项中的指数项与齐次解中的项相同，需提高幂次（乘以$x^k$，$k$为特征根重数）。
第一步：求齐次方程的通解
齐次方程为：
$y'' - 2y' - 3y = 0$
特征方程：
$r^2 - 2r - 3 = 0$
解得特征根：
$r = 3, \, -1$
因此，齐次通解为：
$y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$
第二步：分析非齐次项
非齐次项为：
$(2x + 1)e^{-x}$
其中，$e^{-x}$是齐次解的一部分（对应特征根$r = -1$，为单根），因此特解形式需乘以$x^1$。
第三步：确定特解形式
原非齐次项为一次多项式乘以$e^{-x}$，调整后特解形式为：
$y_p = x \cdot (Ax + B)e^{-x}$
即：
$y_p = x(Ax + B)e^{-x}$
第四步：匹配选项
选项中符合此形式的是D。