题目
int((1)/(sqrt(x))-e^x)dx= (). A. sqrt(x)-e^x+CB. 2sqrt(x)-e^x+CC. sqrt(x)+e^-x+C
$\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-e^{x}\right)dx=$ ().
- A. $\sqrt{x}-e^{x}+C$
- B. $2\sqrt{x}-e^{x}+C$
- C. $\sqrt{x}+e^{-x}+C$
题目解答
答案
将原积分拆分为两部分：
\[
\int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x \right) \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int e^x \, dx
\]
对第一部分使用幂规则积分：
\[
\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2\sqrt{x} + C_1
\]
第二部分直接积分：
\[
\int e^x \, dx = e^x + C_2
\]
合并结果：
\[
2\sqrt{x} - e^x + C \quad (\text{其中 } C = C_1 - C_2)
\]
因此，正确答案为 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：拆分积分
将原积分拆分为两部分： \[ \int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x \right) \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int e^x \, dx \]
步骤 2：对第一部分积分
对第一部分使用幂规则积分： \[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2\sqrt{x} + C_1 \]
步骤 3：对第二部分积分
第二部分直接积分： \[ \int e^x \, dx = e^x + C_2 \]
步骤 4：合并结果
合并结果： \[ 2\sqrt{x} - e^x + C \quad (\text{其中 } C = C_1 - C_2) \]
将原积分拆分为两部分： \[ \int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x \right) \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int e^x \, dx \]
步骤 2：对第一部分积分
对第一部分使用幂规则积分： \[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2\sqrt{x} + C_1 \]
步骤 3：对第二部分积分
第二部分直接积分： \[ \int e^x \, dx = e^x + C_2 \]
步骤 4：合并结果
合并结果： \[ 2\sqrt{x} - e^x + C \quad (\text{其中 } C = C_1 - C_2) \]