题目

讨论函数f(x)= { xneq 0 0 x=0 .在处的连续性与可导性.

讨论函数在处的连续性与可导性.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，需要掌握极限的计算、导数的定义及夹逼定理的应用。

解题核心思路：

  1. 连续性：验证函数在$x=0$处是否满足极限值等于函数值。利用无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量的性质，结合夹逼定理求极限。
  2. 可导性：根据导数定义，计算差商的极限。通过化简表达式，再次利用无穷小量与有界函数的乘积性质得出结论。

破题关键点：

  • 连续性的关键在于确认$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$。
  • 可导性的关键在于将差商化简为$\Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}$，并判断其极限为0。

连续性分析

  1. 函数在$x=0$处有定义：$f(0) = 0$。
  2. 计算极限$\lim_{x \to 0} f(x)$：
    • 当$x \neq 0$时，$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$。
    • 注意到$|x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2$，而$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$。
    • 根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$。
  3. 比较极限与函数值：$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，故函数在$x=0$处连续。

可导性分析

  1. 应用导数定义：
    $f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2 \sin \frac{1}{\Delta x} - 0}{\Delta x}$
  2. 化简表达式：
    $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}$
  3. 判断极限存在性：
    • $|\Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}| \leq |\Delta x|$，而$\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$。
    • 根据夹逼定理，$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x} = 0$。
  4. 结论：导数存在且$f'(0) = 0$，故函数在$x=0$处可导。