题目
65 摆线 x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)( 0le tle 2pi)与x轴围成图形绕y=2a 转一周而得旋转体的体积V=_____.
65 摆线 $x=a(t-\sin t)$,$y=a(1-\cos t)$($ 0\le t\le 2\pi$)与x轴围成图形绕y=2a 转一周而得旋转体的体积V=_____.
题目解答
答案
将摆线 $x = a(t - \sin t)$，$y = a(1 - \cos t)$（$0 \le t \le 2\pi$）绕 $y = 2a$ 旋转，外半径为 $2a$，内半径为 $2a - y = a(1 + \cos t)$。
体积 $V$ 可表示为：
\[
V = \pi \int_{0}^{2\pi} \left[ (2a)^2 - (a(1 + \cos t))^2 \right] a(1 - \cos t) \, dt
\]
化简被积函数并计算得：
\[
V = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1 - \cos t) \, dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 5\cos t + \cos^2 t + \cos^3 t) \, dt
\]
利用三角函数的周期性积分性质，得：
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^3 t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi
\]
代入得：
\[
V = \pi a^3 \left[ 6\pi + \pi \right] = 7\pi^2 a^3
\]
**答案：** $\boxed{7\pi^2 a^3}$
解析
步骤 1：确定旋转体的内外半径
摆线 $x = a(t - \sin t)$，$y = a(1 - \cos t)$（$0 \le t \le 2\pi$）绕 $y = 2a$ 旋转，外半径为 $2a$，内半径为 $2a - y = a(1 + \cos t)$。
步骤 2：计算旋转体的体积
体积 $V$ 可表示为： \[ V = \pi \int_{0}^{2\pi} \left[ (2a)^2 - (a(1 + \cos t))^2 \right] a(1 - \cos t) \, dt \] 化简被积函数并计算得： \[ V = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1 - \cos t) \, dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 5\cos t + \cos^2 t + \cos^3 t) \, dt \] 利用三角函数的周期性积分性质，得： \[ \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^3 t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi \] 代入得： \[ V = \pi a^3 \left[ 6\pi + \pi \right] = 7\pi^2 a^3 \]
摆线 $x = a(t - \sin t)$，$y = a(1 - \cos t)$（$0 \le t \le 2\pi$）绕 $y = 2a$ 旋转，外半径为 $2a$，内半径为 $2a - y = a(1 + \cos t)$。
步骤 2：计算旋转体的体积
体积 $V$ 可表示为： \[ V = \pi \int_{0}^{2\pi} \left[ (2a)^2 - (a(1 + \cos t))^2 \right] a(1 - \cos t) \, dt \] 化简被积函数并计算得： \[ V = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1 - \cos t) \, dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (3 - 5\cos t + \cos^2 t + \cos^3 t) \, dt \] 利用三角函数的周期性积分性质，得： \[ \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^3 t \, dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi \] 代入得： \[ V = \pi a^3 \left[ 6\pi + \pi \right] = 7\pi^2 a^3 \]