题目
(11)求lim_(xtoinfty)x^2[e^(1+(1)/(x))^(x)-(1+(1)/(x))^e^(x)].
(11)求$\lim_{x\to\infty}x^{2}\left[e^{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{e^{x}}\right]$.
题目解答
答案
考虑极限 $\lim_{x \to \infty} x^2 \left[ e^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x} \right]$。
利用泰勒展开近似：
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \approx e - \frac{e}{2x}, \quad \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x} \approx e^{\frac{e^x}{x}} \left(1 - \frac{e^x}{2x^2}\right).
\]
对于大 $x$，主要项分析表明差值近似为 $\frac{e^e}{2x^2}$。
因此，极限为：
\[
\boxed{\frac{e^e}{2}}.
\]
解析
步骤 1：泰勒展开
首先，我们对 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 和 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x}$ 进行泰勒展开。对于 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，当 $x$ 趋向于无穷大时，它近似于 $e$，并且可以进一步展开为 $e - \frac{e}{2x}$。对于 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x}$，我们首先注意到 $e^x$ 趋向于无穷大，因此可以近似为 $e^{\frac{e^x}{x}}$，并且进一步展开为 $e^{\frac{e^x}{x}} \left(1 - \frac{e^x}{2x^2}\right)$。
步骤 2：计算极限
将上述泰勒展开代入原极限表达式中，我们得到： \[ \lim_{x \to \infty} x^2 \left[ e^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x} \right] = \lim_{x \to \infty} x^2 \left[ e^{e - \frac{e}{2x}} - e^{\frac{e^x}{x}} \left(1 - \frac{e^x}{2x^2}\right) \right]. \] 由于 $e^{e - \frac{e}{2x}}$ 和 $e^{\frac{e^x}{x}}$ 都趋向于 $e^e$，因此主要项为 $e^e$，而差值近似为 $\frac{e^e}{2x^2}$。因此，极限为 $\frac{e^e}{2}$。
首先，我们对 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 和 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x}$ 进行泰勒展开。对于 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，当 $x$ 趋向于无穷大时，它近似于 $e$，并且可以进一步展开为 $e - \frac{e}{2x}$。对于 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x}$，我们首先注意到 $e^x$ 趋向于无穷大，因此可以近似为 $e^{\frac{e^x}{x}}$，并且进一步展开为 $e^{\frac{e^x}{x}} \left(1 - \frac{e^x}{2x^2}\right)$。
步骤 2：计算极限
将上述泰勒展开代入原极限表达式中，我们得到： \[ \lim_{x \to \infty} x^2 \left[ e^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{e^x} \right] = \lim_{x \to \infty} x^2 \left[ e^{e - \frac{e}{2x}} - e^{\frac{e^x}{x}} \left(1 - \frac{e^x}{2x^2}\right) \right]. \] 由于 $e^{e - \frac{e}{2x}}$ 和 $e^{\frac{e^x}{x}}$ 都趋向于 $e^e$，因此主要项为 $e^e$，而差值近似为 $\frac{e^e}{2x^2}$。因此，极限为 $\frac{e^e}{2}$。