设随机变量的概率密度函数为，记，则( )A. B. C. D.

考查要点：本题主要考查概率密度函数的变量变换，涉及指数分布的性质及线性变换后的密度函数推导。

解题核心思路：
当随机变量$Y$与原变量$X$满足线性关系$Y = aX + b$时，可通过累积分布函数法或概率密度函数变换法求解$Y$的密度函数。本题中$Y = 2X$，需通过变量代换和导数运算得到$Y$的密度函数。

破题关键点：

1. 确定原变量$X$的密度函数形式（指数分布）；
2. 建立$Y$的累积分布函数与$X$的关系；
3. 对累积分布函数求导得到$Y$的密度函数，注意链式法则的应用。

步骤1：写出原变量$X$的累积分布函数

$X$的概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0, \\0, & x \leq 0.\end{cases}$
其累积分布函数为：
$F_X(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x}, & x > 0, \\0, & x \leq 0.\end{cases}$

步骤2：建立$Y$的累积分布函数

由$Y = 2X$，当$y > 0$时：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X \leq y) = P\left(X \leq \frac{y}{2}\right) = F_X\left(\frac{y}{2}\right).$
当$y \leq 0$时，$F_Y(y) = 0$。

步骤3：对累积分布函数求导

对$F_Y(y)$求导得$Y$的密度函数：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} F_X\left(\frac{y}{2}\right) = f_X\left(\frac{y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}.$
代入$f_X(x) = e^{-x}$得：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-y/2}, & y > 0, \\0, & y \leq 0.\end{cases}$

结论：$Y$服从参数为$\lambda = \frac{1}{2}$的指数分布，其密度函数为$\frac{1}{2} e^{-y/2}$（对应选项D）。