题目
设f(x)在[0,1]上连续,且 (0)=f(1). 证明:一定存在 _(0)in [ 0,dfrac (1)(2)] , 使得 ((x)_(0))=-|||-((x)_(0)+dfrac (1)(2)).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x)=f(x)-f(x+\dfrac {1}{2})$ ，该函数在[0,1]上连续，因为f(x)在[0,1]上连续。
步骤 2：计算F(0)和F(1/2)
计算 $F(0)=f(0)-f(0+\dfrac {1}{2})=f(0)-f(\dfrac {1}{2})$ 和 $F(\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(1)$ 。
步骤 3：利用条件f(0)=f(1)
由于 $f(0)=f(1)$ ，所以 $F(\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(1)=f(\dfrac {1}{2})-f(0)=-F(0)$ 。
步骤 4：应用零点定理
如果 $F(0)=0$ ，则 $f(0)=f(\dfrac {1}{2})$ ，此时 ${x}_{0}=0$ 满足条件。如果 $F(0)\neq 0$ ，则 $F(0)$ 和 $F(\dfrac {1}{2})$ 异号，根据零点定理，存在 ${x}_{0}\in (0,\dfrac {1}{2})$ 使得 $F({x}_{0})=0$ ，即 $f({x}_{0})=f({x}_{0}+\dfrac {1}{2})$ 。
定义辅助函数 $F(x)=f(x)-f(x+\dfrac {1}{2})$ ，该函数在[0,1]上连续，因为f(x)在[0,1]上连续。
步骤 2：计算F(0)和F(1/2)
计算 $F(0)=f(0)-f(0+\dfrac {1}{2})=f(0)-f(\dfrac {1}{2})$ 和 $F(\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(1)$ 。
步骤 3：利用条件f(0)=f(1)
由于 $f(0)=f(1)$ ，所以 $F(\dfrac {1}{2})=f(\dfrac {1}{2})-f(1)=f(\dfrac {1}{2})-f(0)=-F(0)$ 。
步骤 4：应用零点定理
如果 $F(0)=0$ ，则 $f(0)=f(\dfrac {1}{2})$ ，此时 ${x}_{0}=0$ 满足条件。如果 $F(0)\neq 0$ ，则 $F(0)$ 和 $F(\dfrac {1}{2})$ 异号，根据零点定理，存在 ${x}_{0}\in (0,\dfrac {1}{2})$ 使得 $F({x}_{0})=0$ ，即 $f({x}_{0})=f({x}_{0}+\dfrac {1}{2})$ 。