题目
11 lim_(xto0)(ln(1+x+x^2)+ln(1-x+x^2))/(sec x-cos x)=_.
11 $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x+x^{2})+\ln(1-x+x^{2})}{\sec x-\cos x}=\_.$
题目解答
答案
将分子利用对数性质合并：
\[
\ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln(1+x^2+x^4).
\]
分母使用恒等式 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$：
\[
\sec x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
\]
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，$\sin x \approx x$，$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），故：
\[
\ln(1+x^2+x^4) \approx x^2 + x^4, \quad \sin^2 x \approx x^2.
\]
代入极限得：
\[
\lim_{x\to0}\frac{x^2 + x^4}{x^2} = \lim_{x\to0}(1 + x^2) = 1.
\]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
步骤 1：合并对数
利用对数的性质，将分子中的两个对数合并为一个对数： \[ \ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln((1+x+x^2)(1-x+x^2)). \] 由于 $(1+x+x^2)(1-x+x^2) = 1+x^2+x^4$，因此分子可以简化为： \[ \ln(1+x^2+x^4). \]
步骤 2：简化分母
分母中的 $\sec x$ 可以表示为 $\frac{1}{\cos x}$，因此分母可以写为： \[ \sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}. \]
步骤 3：应用极限
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，$\sin x \approx x$，$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），因此： \[ \ln(1+x^2+x^4) \approx x^2 + x^4, \quad \sin^2 x \approx x^2. \] 代入极限得： \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2 + x^4}{x^2} = \lim_{x\to0}(1 + x^2) = 1. \]
利用对数的性质，将分子中的两个对数合并为一个对数： \[ \ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln((1+x+x^2)(1-x+x^2)). \] 由于 $(1+x+x^2)(1-x+x^2) = 1+x^2+x^4$，因此分子可以简化为： \[ \ln(1+x^2+x^4). \]
步骤 2：简化分母
分母中的 $\sec x$ 可以表示为 $\frac{1}{\cos x}$，因此分母可以写为： \[ \sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}. \]
步骤 3：应用极限
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，$\sin x \approx x$，$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），因此： \[ \ln(1+x^2+x^4) \approx x^2 + x^4, \quad \sin^2 x \approx x^2. \] 代入极限得： \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2 + x^4}{x^2} = \lim_{x\to0}(1 + x^2) = 1. \]