题目

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导．求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导．求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

题目解答

答案

题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可．由已知f(x)是周期为5的连续函数，因而求f’(6)及f(6)就等价于求f’(1)及f(1)．由关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 有[*] 再根据导数的定义，有 [*] 其中f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令x→0并结合f(x)的连续性，可得 f(1)-3f(1)=0， 即f(1)=0，则由 [*] 因此f’(1)=2．由周期性知 f’(6)=f’(1)=2，f(6)=f(1)=0． 所以待求切线方程为y=2(x-6)，即2x-y-12=0．

解析

步骤 1：确定f(1)的值
在给定的关系式中，令x→0，利用f(x)的连续性，可以得到f(1)的值。
步骤 2：求f'(1)的值
利用导数的定义，结合给定的关系式，求出f'(1)的值。
步骤 3：利用周期性求f'(6)和f(6)的值
由于f(x)是周期为5的函数，可以利用周期性求出f'(6)和f(6)的值。
步骤 4：求切线方程
利用点斜式方程，求出曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程。