(此题总分值6分)求微分方程dfrac (dy)(dx)=dfrac (y-sqrt {{x)^2+(y)^2}}(x)的通解.

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量替换将方程转化为可分离变量的形式，进而求解通解。

解题核心思路：

1. 识别方程类型：观察方程右边的结构，发现分子和分母均为齐次函数（次数为1），因此属于齐次方程。
2. 变量替换：令$y = z x$，将方程转化为关于$z$和$x$的可分离变量方程。
3. 分离变量积分：对分离后的方程两边积分，得到关于$z$和$x$的关系式。
4. 回代变量：将$z = \dfrac{y}{x}$代回，整理得到通解。
5. 讨论$x$的符号：注意$x > 0$和$x < 0$时的解是否一致，最终合并结果。

破题关键点：

• 正确选择变量替换，将方程转化为可分离变量形式。
• 处理积分后的绝对值问题，确保解在$x > 0$和$x < 0$时的统一性。

变量替换与方程转化

令$y = z x$，则$\dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx}$。
将$y = z x$代入原方程$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$，得：
$z + x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{z x - \sqrt{x^2 + (z x)^2}}{x} = z - \sqrt{1 + z^2}.$
消去两边的$z$，整理得：
$x \dfrac{dz}{dx} = -\sqrt{1 + z^2}.$

分离变量与积分

分离变量得：
$\dfrac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = -\dfrac{dx}{x}.$
两边积分：
$\int \dfrac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = -\int \dfrac{dx}{x}.$
左边积分结果为$\ln \left( z + \sqrt{1 + z^2} \right)$，右边积分结果为$-\ln |x| + C$，因此：
$\ln \left( z + \sqrt{1 + z^2} \right) = -\ln |x| + C.$

回代变量与整理

将$z = \dfrac{y}{x}$代入，得：
$\ln \left( \dfrac{y}{x} + \sqrt{1 + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2} \right) = -\ln |x| + C.$
指数运算化简：
$\dfrac{y}{x} + \sqrt{\dfrac{x^2 + y^2}{x^2}} = \dfrac{C}{x}.$
两边乘以$x$，整理得通解：
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C.$

讨论$x$的符号

• 当$x > 0$时：直接代入上述结果，通解为$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。
• 当$x < 0$时：令$t = -x > 0$，则方程形式不变，解仍为$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。

综上，通解为：
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C \quad (x \neq 0).$