题目
(此题总分值6分)求微分方程dfrac (dy)(dx)=dfrac (y-sqrt {{x)^2+(y)^2}}(x)的通解.
(此题总分值6分)
求微分方程
的通解.
题目解答
答案
最佳答案
[解析]令
,那么
.
当
时,原方程化为
,即
,其通解为
或 
.
代回原变量,得通解
.
当
时,原方程的解与时一样,理由如下:
令
,于是
,而且
.
从而有通解
,即
.
综合得,方程的通解为
.
注:由于未给定自变量
的取值范围,因此在此题求解过程中,引入新未知函数后得
,
从而,应当分别对和求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.
解析
步骤 1：引入新变量
令$\dfrac{y}{x} = z$，则$y = zx$，对$x$求导得到$\dfrac{dy}{dx} = z + x\dfrac{dz}{dx}$。
步骤 2：代入原方程
将$y = zx$和$\dfrac{dy}{dx} = z + x\dfrac{dz}{dx}$代入原方程$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$，得到$z + x\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{zx - \sqrt{x^2 + (zx)^2}}{x}$。
步骤 3：化简方程
化简得到$z + x\dfrac{dz}{dx} = z - \sqrt{1 + z^2}$，即$x\dfrac{dz}{dx} = -\sqrt{1 + z^2}$。
步骤 4：分离变量
分离变量得到$\dfrac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = -\dfrac{dx}{x}$。
步骤 5：积分求解
对两边积分得到$\ln(z + \sqrt{1 + z^2}) = -\ln|x| + C$，即$z + \sqrt{1 + z^2} = \dfrac{C}{x}$。
步骤 6：代回原变量
代回$z = \dfrac{y}{x}$，得到$\dfrac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\dfrac{y}{x}\right)^2} = \dfrac{C}{x}$，即$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。
步骤 7：讨论$x$的取值范围
当$x > 0$时，方程的解为$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。当$x < 0$时，方程的解与$x > 0$时一样，因为方程的形式不变。
令$\dfrac{y}{x} = z$，则$y = zx$，对$x$求导得到$\dfrac{dy}{dx} = z + x\dfrac{dz}{dx}$。
步骤 2：代入原方程
将$y = zx$和$\dfrac{dy}{dx} = z + x\dfrac{dz}{dx}$代入原方程$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$，得到$z + x\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{zx - \sqrt{x^2 + (zx)^2}}{x}$。
步骤 3：化简方程
化简得到$z + x\dfrac{dz}{dx} = z - \sqrt{1 + z^2}$，即$x\dfrac{dz}{dx} = -\sqrt{1 + z^2}$。
步骤 4：分离变量
分离变量得到$\dfrac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = -\dfrac{dx}{x}$。
步骤 5：积分求解
对两边积分得到$\ln(z + \sqrt{1 + z^2}) = -\ln|x| + C$，即$z + \sqrt{1 + z^2} = \dfrac{C}{x}$。
步骤 6：代回原变量
代回$z = \dfrac{y}{x}$，得到$\dfrac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\dfrac{y}{x}\right)^2} = \dfrac{C}{x}$，即$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。
步骤 7：讨论$x$的取值范围
当$x > 0$时，方程的解为$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$。当$x < 0$时，方程的解与$x > 0$时一样，因为方程的形式不变。