题目
求极限lim_(ntoinfty)(sqrt[n]((1^2+n^2)(2^2+n^2)...(n^2+n^2)))/(1+2+...+n).
求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(1^{2}+n^{2})(2^{2}+n^{2})\cdots(n^{2}+n^{2})}}{1+2+\cdots+n}.$
题目解答
答案
将分子重写为：
\[
\sqrt[n]{(1^2 + n^2)(2^2 + n^2) \cdots (n^2 + n^2)} = n^2 \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}.
\]
分母为：
\[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
\]
原极限化简为：
\[
2 \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}.
\]
取对数并利用积分：
\[
\ln \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n} \to \int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx.
\]
计算积分：
\[
\int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}.
\]
故极限为：
\[
2 e^{\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 4 e^{\frac{\pi}{2} - 2}.
\]
答案：$\boxed{4 e^{\frac{\pi}{2} - 2}}$
解析
步骤 1：分子的重写
将分子重写为： \[ \sqrt[n]{(1^2 + n^2)(2^2 + n^2) \cdots (n^2 + n^2)} = n^2 \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}. \] 这里，我们提取了$n^2$作为公共因子，并将剩余部分写成乘积的形式。
步骤 2：分母的简化
分母为： \[ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \] 这是等差数列求和的公式。
步骤 3：极限的化简
原极限化简为： \[ 2 \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}. \] 我们将分子和分母的表达式代入原极限，并简化得到上述形式。
步骤 4：取对数并利用积分
取对数并利用积分： \[ \ln \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n} \to \int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx. \] 这里，我们利用了积分的定义来近似求解极限。
步骤 5：计算积分
计算积分： \[ \int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}. \] 这个积分可以通过分部积分法或查表得到。
步骤 6：求解极限
故极限为： \[ 2 e^{\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 4 e^{\frac{\pi}{2} - 2}. \] 我们将积分的结果代入步骤3中的极限表达式，并计算得到最终结果。
将分子重写为： \[ \sqrt[n]{(1^2 + n^2)(2^2 + n^2) \cdots (n^2 + n^2)} = n^2 \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}. \] 这里，我们提取了$n^2$作为公共因子，并将剩余部分写成乘积的形式。
步骤 2：分母的简化
分母为： \[ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \] 这是等差数列求和的公式。
步骤 3：极限的化简
原极限化简为： \[ 2 \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n}. \] 我们将分子和分母的表达式代入原极限，并简化得到上述形式。
步骤 4：取对数并利用积分
取对数并利用积分： \[ \ln \left[ \prod_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right) \right]^{1/n} \to \int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx. \] 这里，我们利用了积分的定义来近似求解极限。
步骤 5：计算积分
计算积分： \[ \int_0^1 \ln (x^2 + 1) \, dx = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}. \] 这个积分可以通过分部积分法或查表得到。
步骤 6：求解极限
故极限为： \[ 2 e^{\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 4 e^{\frac{\pi}{2} - 2}. \] 我们将积分的结果代入步骤3中的极限表达式，并计算得到最终结果。