题目
17、若A,B相互独立,则overline(A),B是相互独立的( )(3分)正确错误
17、若A,B相互独立,则$\overline{A}$,B是相互独立的( )(3分)
正确
错误
题目解答
答案
为了确定如果 $A$ 和 $B$ 相互独立，那么 $\overline{A}$ 和 $B$ 是否也相互独立，我们需要使用相互独立的定义和一些基本的概率性质。
两个事件 $X$ 和 $Y$ 相互独立，如果它们的交集的概率等于它们各自概率的乘积，即 $P(X \cap Y) = P(X)P(Y)$。
已知 $A$ 和 $B$ 相互独立，我们有：
\[P(A \cap B) = P(A)P(B).\]
我们需要证明 $\overline{A}$ 和 $B$ 也相互独立，即：
\[P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A})P(B).\]
首先，我们使用补集的性质来表示 $P(\overline{A} \cap B)$。全集可以写为 $A \cup \overline{A}$，所以：
\[P(B) = P((A \cup \overline{A}) \cap B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B).\]
由于 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$，我们将这个代入方程：
\[P(B) = P(A)P(B) + P(\overline{A} \cap B).\]
接下来，我们解出 $P(\overline{A} \cap B)$：
\[P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A)P(B) = P(B)(1 - P(A)).\]
根据补集的定义，$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，所以：
\[P(\overline{A} \cap B) = P(B)P(\overline{A}).\]
这表明 $\overline{A}$ 和 $B$ 相互独立。因此，答案是：
\[
\boxed{\text{正确}}
\]