设柱面的准线为 ) x=(y)^2+(z)^2 x=2z .，母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。.

考查要点：本题主要考查柱面方程的求解方法，涉及准线、母线方向向量的确定，以及参数方程的消元技巧。

解题核心思路：

1. 确定准线所在的平面：准线由两个平面方程的交线构成，其中关键平面为$x=2z$。
2. 求母线方向向量：母线垂直于准线所在平面$x=2z$，其法向量为$(1,0,-2)$，即为母线方向向量。
3. 建立母线方程：以准线上任意点$(x,y,z)$为起点，沿母线方向延伸，得到参数方程。
4. 消去参数：通过准线方程和母线方程，消去中间变量，得到关于$(X,Y,Z)$的方程。

破题关键点：

• 准线参数化：将准线表示为参数方程，便于后续推导。
• 母线方向向量的确定：直接利用平面法向量作为母线方向。
• 消元法：通过代数运算消去参数，得到最终方程。

步骤1：确定准线参数方程

准线由$x=y^2$和$x=2z$的交线构成，参数化为：
$\begin{cases}x = t^2 \\y = t \\z = \dfrac{t^2}{2}\end{cases}$

步骤2：求母线方向向量

准线所在平面$x=2z$的法向量为$\mathbf{n}=(1,0,-2)$，故母线方向向量为$(1,0,-2)$。

步骤3：建立母线方程

准线上任一点$(t^2, t, \dfrac{t^2}{2})$，母线方程为：
$\begin{cases}X = t^2 + \lambda \\Y = t \\Z = \dfrac{t^2}{2} - 2\lambda\end{cases}$

步骤4：消去参数

1. 由$Y = t$得$t = Y$，代入$X$和$Z$：
   $X = Y^2 + \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = X - Y^2$
2. 代入$Z$的表达式：
   $Z = \dfrac{Y^2}{2} - 2(X - Y^2) = \dfrac{5Y^2}{2} - 2X$
3. 整理得柱面方程：
   $4X + 2Z = 5Y^2$