题目

求微分方程'+ycos x=2(e)^-sin x满足初始条件'+ycos x=2(e)^-sin x的特解。

求微分方程 $y'+y\cos x=2e^{-\sin x}$ 满足初始条件 $y(0)=3$ 的特解。

题目解答

答案

微分方程为非齐次线性方程，令 $P\left(x\right)=\cos x$ ， $Q\left(x\right)=2e^{-\sin x}$ ，则方程的通解为 $y=e^{-\int_{ }^{ }P\left(x\right)dx}\left(\int_{ }^{ }Q\left(x\right)e^{\int_{ }^{ }P\left(x\right)dx}dx+C\right)$

$=e^{-\int_{ }^{ }\cos xdx}\left(\int_{ }^{ }2e^{-\sin x}\bullet e^{\int_{ }^{ }\cos xdx}dx+C\right)$

$=e^{-\sin x}\left(2x+C\right)$

然后将 $y(0)=3$ 代入即可求出特解。

令 $P\left(x\right)=\cos x$ ， $Q\left(x\right)=2e^{-\sin x}$ ，则方程的通解为 $y=e^{-\int_{ }^{ }P\left(x\right)dx}\left(\int_{ }^{ }Q\left(x\right)e^{\int_{ }^{ }P\left(x\right)dx}dx+C\right)$

$=e^{-\int_{ }^{ }\cos xdx}\left(\int_{ }^{ }2e^{-\sin x}\bullet e^{\int_{ }^{ }\cos xdx}dx+C\right)$

$=e^{-\sin x}\left(2x+C\right)$

将 $y(0)=3$ 代入得 $C=3$

∴ 特解为 $y=e^{-\sin x}\left(2x+3\right)$

故答案为： $y=e^{-\sin x}\left(2x+3\right)$

解析

步骤 1：确定方程类型
给定的微分方程$y'+y\cos x=2{e}^{-\sin x}$是一个一阶线性非齐次微分方程，其中$P(x)=\cos x$，$Q(x)=2{e}^{-\sin x}$。

步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程$y'+y\cos x=0$。该方程的通解为$y={e}^{-\int P(x)dx}={e}^{-\int \cos xdx}={e}^{-\sin x}$。

步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程$y'+y\cos x=2{e}^{-\sin x}$，其通解形式为$y={e}^{-\int P(x)dx}(\int Q(x){e}^{\int P(x)dx}dx+C)$。将$P(x)$和$Q(x)$代入，得到$y={e}^{-\sin x}(\int 2{e}^{-\sin x}{e}^{\sin x}dx+C)$。简化后得到$y={e}^{-\sin x}(2x+C)$。

步骤 4：应用初始条件
将初始条件$y(0)=3$代入通解$y={e}^{-\sin x}(2x+C)$，得到$3={e}^{-\sin 0}(2\cdot0+C)$，即$3=C$。因此，特解为$y={e}^{-\sin x}(2x+3)$。