题目
设曲线 C 由极坐标方程 r = r(theta)(theta_1 leq theta leq theta_2)给出，则 I = int_(C) f(x, y), ds = ( ). A. int_(theta_1)^theta_2 f(r cos theta, r sin theta), dtheta B. int_(theta_1)^theta_2 f(x, y)sqrt(1 + y^2) , dx C. int_(theta_1)^theta_2 f(r cos theta, r sin theta), r , dtheta D. int_(theta_1)^theta_2 f(r cos theta, r sin theta)sqrt(r^2 + r'^2) , dtheta
设曲线 $C $由极坐标方程 $r = r(\theta)$($\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$)给出，则 $I = \int_{C} f(x, y)\, ds = (\quad)$.
- A. $\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta)\, d\theta $
- B. $\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(x, y)\sqrt{1 + y^2} \, dx $
- C. $\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta)\, r \, d\theta $
- D. $\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta)\sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta $
题目解答
答案
将曲线积分 $I = \int_C f(x, y) \, ds$ 转换为极坐标形式，其中 $x = r(\theta) \cos \theta$，$y = r(\theta) \sin \theta$。弧长元素 $ds$ 在极坐标中为：
\[
ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta = \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta.
\]
代入曲线积分得：
\[
I = \int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta.
\]
与选项对比，正确答案为：
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：转换坐标系
将曲线积分 $I = \int_C f(x, y) \, ds$ 转换为极坐标形式，其中 $x = r(\theta) \cos \theta$，$y = r(\theta) \sin \theta$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 在极坐标中为： \[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta = \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta. \]
步骤 3：代入曲线积分
代入曲线积分得： \[ I = \int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta. \]
将曲线积分 $I = \int_C f(x, y) \, ds$ 转换为极坐标形式，其中 $x = r(\theta) \cos \theta$，$y = r(\theta) \sin \theta$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 在极坐标中为： \[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta = \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta. \]
步骤 3：代入曲线积分
代入曲线积分得： \[ I = \int_{\theta_1}^{\theta_2} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \sqrt{r^2 + r'^2} \, d\theta. \]