求函数u=xy^2z在点P_0(1,-1,2)处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数

步骤 1：计算梯度
首先，我们需要计算函数 $u=xy^2z$ 在点 $P_0(1,-1,2)$ 处的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。因此，我们需要计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial z}$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数：
- $\frac{\partial u}{\partial x} = y^2z$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz$
- $\frac{\partial u}{\partial z} = xy^2$
步骤 3：代入点 $P_0(1,-1,2)$
将点 $P_0(1,-1,2)$ 代入上述偏导数中，得到梯度在该点的值：
- $\frac{\partial u}{\partial x}|_{P_0} = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
- $\frac{\partial u}{\partial y}|_{P_0} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 2 = -4$
- $\frac{\partial u}{\partial z}|_{P_0} = 1 \cdot (-1)^2 = 1$
步骤 4：确定变化最快的方向
函数在点 $P_0$ 处变化最快的方向是梯度的方向，即 $\nabla u|_{P_0} = 2i - 4j + k$。
步骤 5：计算方向导数
方向导数是梯度的模，即 $|\nabla u|_{P_0}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}$。