题目
注 类似地，求极限lim_(xto0)[(1)/(xint_(0)^xtan t^2dt)-(1)/(xint_(0)^xsin t^2dt)].
注 类似地，
求极限$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x\int_{0}^{x}\tan t^{2}dt}-\frac{1}{x\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}\right].$
题目解答
答案
将原极限表达式合并为一个分数：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2 \, dt - \int_0^x \tan t^2 \, dt}{x \int_0^x \sin t^2 \, dt \int_0^x \tan t^2 \, dt}.
\]
利用泰勒展开近似：$\sin t^2 \approx t^2 - \frac{t^6}{6}$，$\tan t^2 \approx t^2 + \frac{t^6}{3}$，得
\[
\sin t^2 - \tan t^2 \approx -\frac{t^6}{2}.
\]
分子近似为
\[
\int_0^x -\frac{t^6}{2} \, dt = -\frac{x^7}{14}.
\]
分母近似为
\[
x \left( \frac{x^3}{3} \right)^2 = \frac{x^7}{9}.
\]
故极限为
\[
\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^7}{14}}{\frac{x^7}{9}} = -\frac{9}{14}.
\]
答案：$\boxed{-\frac{9}{14}}$
解析
步骤 1：合并极限表达式
将原极限表达式合并为一个分数： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2 \, dt - \int_0^x \tan t^2 \, dt}{x \int_0^x \sin t^2 \, dt \int_0^x \tan t^2 \, dt}. \]
步骤 2：利用泰勒展开近似
利用泰勒展开近似：$\sin t^2 \approx t^2 - \frac{t^6}{6}$，$\tan t^2 \approx t^2 + \frac{t^6}{3}$，得 \[ \sin t^2 - \tan t^2 \approx -\frac{t^6}{2}. \]
步骤 3：计算分子和分母的近似值
分子近似为 \[ \int_0^x -\frac{t^6}{2} \, dt = -\frac{x^7}{14}. \] 分母近似为 \[ x \left( \frac{x^3}{3} \right)^2 = \frac{x^7}{9}. \]
步骤 4：计算极限
故极限为 \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^7}{14}}{\frac{x^7}{9}} = -\frac{9}{14}. \]
将原极限表达式合并为一个分数： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2 \, dt - \int_0^x \tan t^2 \, dt}{x \int_0^x \sin t^2 \, dt \int_0^x \tan t^2 \, dt}. \]
步骤 2：利用泰勒展开近似
利用泰勒展开近似：$\sin t^2 \approx t^2 - \frac{t^6}{6}$，$\tan t^2 \approx t^2 + \frac{t^6}{3}$，得 \[ \sin t^2 - \tan t^2 \approx -\frac{t^6}{2}. \]
步骤 3：计算分子和分母的近似值
分子近似为 \[ \int_0^x -\frac{t^6}{2} \, dt = -\frac{x^7}{14}. \] 分母近似为 \[ x \left( \frac{x^3}{3} \right)^2 = \frac{x^7}{9}. \]
步骤 4：计算极限
故极限为 \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^7}{14}}{\frac{x^7}{9}} = -\frac{9}{14}. \]