题目
7.设n阶矩阵A满足A^2-A-2E=0，则(A+2E)^-1=____。
7.设n阶矩阵A满足$A^{2}-A-2E=0$，则$(A+2E)^{-1}=$____。
题目解答
答案
由已知条件 $A^2 - A - 2E = 0$，可得 $A^2 - A = 2E$。
将等式重写为：
\[ A^2 + 2AE - A - 2E = 4E \]
\[ (A - E)(A + 2E) = 4E \]
两边同时乘以 $\frac{1}{4}$：
\[ \left(\frac{A - E}{4}\right)(A + 2E) = E \]
因此，$(A + 2E)^{-1} = \frac{A - E}{4} = -\frac{1}{4}(E - A) = -\frac{1}{4}(A - 3E)$。
答案：$\boxed{-\frac{1}{4}(A - 3E)}$
解析
步骤 1：利用已知条件
已知条件为 $A^2 - A - 2E = 0$，其中 $E$ 是单位矩阵。我们首先将这个等式重写为 $A^2 - A = 2E$。
步骤 2：构造等式
为了找到 $(A + 2E)^{-1}$，我们需要构造一个等式，使得 $(A + 2E)$ 与某个矩阵相乘的结果为单位矩阵 $E$。为此，我们从已知条件出发，构造如下等式：\[ A^2 + 2AE - A - 2E = 4E \] 这个等式可以重写为：\[ (A - E)(A + 2E) = 4E \]
步骤 3：求逆矩阵
为了使 $(A + 2E)$ 与某个矩阵相乘的结果为单位矩阵 $E$，我们需要将等式两边同时乘以 $\frac{1}{4}$，得到：\[ \left(\frac{A - E}{4}\right)(A + 2E) = E \] 因此，$(A + 2E)^{-1} = \frac{A - E}{4}$。为了与题目答案形式一致，我们可以进一步将 $\frac{A - E}{4}$ 写为 $-\frac{1}{4}(E - A)$ 或 $-\frac{1}{4}(A - 3E)$。
已知条件为 $A^2 - A - 2E = 0$，其中 $E$ 是单位矩阵。我们首先将这个等式重写为 $A^2 - A = 2E$。
步骤 2：构造等式
为了找到 $(A + 2E)^{-1}$，我们需要构造一个等式，使得 $(A + 2E)$ 与某个矩阵相乘的结果为单位矩阵 $E$。为此，我们从已知条件出发，构造如下等式：\[ A^2 + 2AE - A - 2E = 4E \] 这个等式可以重写为：\[ (A - E)(A + 2E) = 4E \]
步骤 3：求逆矩阵
为了使 $(A + 2E)$ 与某个矩阵相乘的结果为单位矩阵 $E$，我们需要将等式两边同时乘以 $\frac{1}{4}$，得到：\[ \left(\frac{A - E}{4}\right)(A + 2E) = E \] 因此，$(A + 2E)^{-1} = \frac{A - E}{4}$。为了与题目答案形式一致，我们可以进一步将 $\frac{A - E}{4}$ 写为 $-\frac{1}{4}(E - A)$ 或 $-\frac{1}{4}(A - 3E)$。