题目

(05全国卷I)函数 (x)=(x)^3+a(x)^2+3x-9, 已知-|||-f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a= ()-|||-(A)2 (B)3-|||-(C)4 (D)5

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的极值点，以及解方程的能力。
解题核心思路：函数在极值点处的导数一定为零，因此只需计算导数并代入极值点坐标，解方程即可求得参数$a$的值。
关键点：正确求导并代入$x=-3$，建立方程求解$a$。

  1. 求导数
    函数$f(x) = x^3 + a x^2 + 3x - 9$的导数为：
    $f'(x) = 3x^2 + 2a x + 3$

  2. 代入极值点条件
    已知$x = -3$是极值点，因此$f'(-3) = 0$。将$x = -3$代入导数表达式：
    $f'(-3) = 3(-3)^2 + 2a(-3) + 3 = 0$

  3. 解方程求$a$
    计算得：
    $3 \cdot 9 - 6a + 3 = 0 \implies 27 + 3 - 6a = 0 \implies 30 = 6a \implies a = 5$