题目
多项式 ^2+overline (2)x+overline (1) 在Z 6中的根.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义多项式
多项式为 $f(x) = x^2 + 2x + 1$，在 $\mathbb{Z}_6$ 中，即在模6的整数环中考虑其根。
步骤 2：寻找根
在 $\mathbb{Z}_6$ 中，元素为 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。我们需要将这些元素代入多项式 $f(x)$ 中，检查哪些元素使得 $f(x) \equiv 0 \pmod{6}$。
步骤 3：计算
- $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \not\equiv 0 \pmod{6}$
- $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 4 \not\equiv 0 \pmod{6}$
- $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9 \equiv 3 \pmod{6}$
- $f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 + 1 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$
- $f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = 25 \equiv 1 \pmod{6}$
- $f(5) = 5^2 + 2 \cdot 5 + 1 = 36 \equiv 0 \pmod{6}$
步骤 4：确定根
根据计算结果，只有 $f(5) \equiv 0 \pmod{6}$，因此 $x = 5$ 是多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}_6$ 中的根。
多项式为 $f(x) = x^2 + 2x + 1$，在 $\mathbb{Z}_6$ 中，即在模6的整数环中考虑其根。
步骤 2：寻找根
在 $\mathbb{Z}_6$ 中，元素为 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。我们需要将这些元素代入多项式 $f(x)$ 中，检查哪些元素使得 $f(x) \equiv 0 \pmod{6}$。
步骤 3：计算
- $f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \not\equiv 0 \pmod{6}$
- $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 4 \not\equiv 0 \pmod{6}$
- $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9 \equiv 3 \pmod{6}$
- $f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 + 1 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$
- $f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = 25 \equiv 1 \pmod{6}$
- $f(5) = 5^2 + 2 \cdot 5 + 1 = 36 \equiv 0 \pmod{6}$
步骤 4：确定根
根据计算结果，只有 $f(5) \equiv 0 \pmod{6}$，因此 $x = 5$ 是多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}_6$ 中的根。