题目
(1)设f(x)连续且为奇函数,则下列函数中必为偶函数的为(A) int_(0)^xdu int_(a)^u tf(t)dt. (B) int_(a)^xdu int_(0)^u f(t)dt.(C) int_(0)^xdu int_(a)^u f(t)dt. (D) int_(a)^xdu int_(0)^u tf(t)dt.
(1)设f(x)连续且为奇函数,则下列函数中必为偶函数的为
(A) $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u} tf(t)dt.$ (B) $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u} f(t)dt.$
(C) $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u} f(t)dt.$ (D) $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u} tf(t)dt.$
题目解答
答案
设 $f(x)$ 为奇函数，分析各选项：
- **选项A**：内层积分 $\int_a^u tf(t)dt$（偶函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项B**：内层积分 $\int_0^u f(t)dt$（偶函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项C**：内层积分 $\int_a^u f(t)dt$（奇函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项D**：内层积分 $\int_0^u tf(t)dt$（偶函数），外层积分上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
**答案**：$\boxed{D}$
**解析**：选项D中，内层积分为偶函数，外层积分在 $a=0$ 时为偶函数，满足条件。其他选项均无法保证函数为偶函数。
解析
步骤 1：分析奇函数的性质
奇函数 $f(x)$ 满足 $f(-x) = -f(x)$。对于奇函数，积分 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$，因为奇函数在对称区间上的积分结果为零。
步骤 2：分析各选项
- **选项A**：内层积分 $\int_a^u tf(t)dt$，由于 $tf(t)$ 是偶函数（$t$ 和 $f(t)$ 都是奇函数，乘积为偶函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项B**：内层积分 $\int_0^u f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，积分结果为偶函数，但外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项C**：内层积分 $\int_a^u f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，积分结果为奇函数，外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项D**：内层积分 $\int_0^u tf(t)dt$，由于 $tf(t)$ 是偶函数，积分结果为偶函数，外层积分上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
步骤 3：确定正确选项
根据上述分析，只有选项D在 $a=0$ 时，内层积分为偶函数，外层积分也为偶函数，满足条件。
奇函数 $f(x)$ 满足 $f(-x) = -f(x)$。对于奇函数，积分 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$，因为奇函数在对称区间上的积分结果为零。
步骤 2：分析各选项
- **选项A**：内层积分 $\int_a^u tf(t)dt$，由于 $tf(t)$ 是偶函数（$t$ 和 $f(t)$ 都是奇函数，乘积为偶函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项B**：内层积分 $\int_0^u f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，积分结果为偶函数，但外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项C**：内层积分 $\int_a^u f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，积分结果为奇函数，外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项D**：内层积分 $\int_0^u tf(t)dt$，由于 $tf(t)$ 是偶函数，积分结果为偶函数，外层积分上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
步骤 3：确定正确选项
根据上述分析，只有选项D在 $a=0$ 时，内层积分为偶函数，外层积分也为偶函数，满足条件。