3. 设随机变量 X 的密度函数为 , 则 Y=3-2 X 的密度函数为 ( ) .(A) (B) (C) (D)

考查要点：本题主要考查随机变量函数的密度函数求解方法，即通过变量代换法（概率变换法）推导新随机变量的密度函数。

解题核心思路：

1. 确定变量关系：将Y表示为X的函数，求出其逆函数$g^{-1}(y)$。
2. 计算雅可比因子：对逆函数求导并取绝对值，得到缩放因子。
3. 代入公式：利用公式$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|$，结合上述结果得到最终表达式。

破题关键点：

• 正确求解逆函数：将$Y=3-2X$变形为$X$关于$Y$的表达式。
• 符号与绝对值处理：导数可能为负，但雅可比因子取绝对值，确保系数为正。

步骤1：求逆函数

由$Y = 3 - 2X$，解得：
$X = \dfrac{3 - Y}{2}$
即逆函数为：
$g^{-1}(y) = \dfrac{3 - y}{2}$

步骤2：计算雅可比因子

对逆函数求导：
$\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) = \dfrac{d}{dy}\left( \dfrac{3 - y}{2} \right) = -\dfrac{1}{2}$
取绝对值得到雅可比因子：
$\left| \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) \right| = \dfrac{1}{2}$

步骤3：代入公式

根据变量代换公式：
$f_Y(y) = f_X\left( g^{-1}(y) \right) \cdot \left| \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|$
代入$g^{-1}(y) = \dfrac{3 - y}{2}$和雅可比因子$\dfrac{1}{2}$，得：
$f_Y(y) = f_X\left( \dfrac{3 - y}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}$

选项匹配

观察选项，$\dfrac{3 - y}{2}$可改写为$-\dfrac{y - 3}{2}$，因此正确答案为：
$\dfrac{1}{2}f_X\left( -\dfrac{y - 3}{2} \right)$
对应选项 B。