设随机变量 ( X ,Y ) 在矩形区域 D (( x, y) | a x b, c y d) 内服从均匀分布,(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2) 问随机变量 X ,Y 是否独立?

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的联合概率密度、边缘概率密度的求解方法，以及随机变量独立性的判断。

解题核心思路：

1. 联合概率密度：均匀分布的联合密度在区域$D$内为常数，等于区域面积的倒数。
2. 边缘概率密度：通过对联合密度在另一变量上积分得到。
3. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积。

破题关键点：

• 均匀分布的特性：密度函数在定义域内均匀分布。
• 独立性的充要条件：$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$对所有$x,y$成立。

第（1）题

联合概率密度

均匀分布的定义：在矩形区域$D$内，联合概率密度为常数，区域外为$0$。
区域$D$的面积为$(b-a)(d-c)$，因此联合概率密度为：
$f(x,y) = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{(b-a)(d-c)}, & a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$

边缘概率密度

$X$的边缘密度$f_X(x)$

对$y$积分：
$f_X(x) = \int_{c}^{d} f(x,y) \, dy = \int_{c}^{d} \frac{1}{(b-a)(d-c)} \, dy = \frac{1}{b-a} \quad (a \leq x \leq b).$

$Y$的边缘密度$f_Y(y)$

对$x$积分：
$f_Y(y) = \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{(b-a)(d-c)} \, dx = \frac{1}{d-c} \quad (c \leq y \leq d).$

第（2）题

独立性判断：
若$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，则$X$与$Y$独立。
计算得：
$f_X(x)f_Y(y) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{d-c} = \frac{1}{(b-a)(d-c)} = f(x,y).$
因此，$X$与$Y$独立。