题目
求非齐次线性方程组-|||- ) (x)_(1)+(x)_(2)=5 2(x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+2(x)_(4)=1 5(x)_(1)+3(x)_(2)+2(x)_(3)+2(x)_(4)=3 . 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程组写成增广矩阵形式
将方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}=5\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+2{x}_{4}=1\\ 5{x}_{1}+3{x}_{2}+2{x}_{3}+2{x}_{4}=3\end{matrix} \right.$ 写成增广矩阵形式，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 5 & 3 & 2 & 2 & 3\end{matrix} \right]$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以-2加到第二行，将第一行乘以-5加到第三行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & -1 & 1 & 2 & -9\\ 0 & -2 & 2 & 2 & -22\end{matrix} \right]$。然后，将第二行乘以-1，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & -2 & 2 & 2 & -22\end{matrix} \right]$。接着，将第二行乘以2加到第三行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -4\end{matrix} \right]$。最后，将第三行乘以-1/2，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{matrix} \right]$。
步骤 3：求解方程组
从阶梯形矩阵中，我们可以得到方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}=5\\ {x}_{2}-{x}_{3}-2{x}_{4}=9\\ {x}_{4}=2\end{matrix} \right.$。将 ${x}_{4}=2$ 代入第二个方程，得到 ${x}_{2}-{x}_{3}-4=9$，即 ${x}_{2}-{x}_{3}=13$。将 ${x}_{2}-{x}_{3}=13$ 和 ${x}_{4}=2$ 代入第一个方程，得到 ${x}_{1}+{x}_{2}=5$，即 ${x}_{1}+13+{x}_{3}=5$，即 ${x}_{1}+{x}_{3}=-8$。因此，方程组的通解为 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=-8-{x}_{3}\\ {x}_{2}=13+{x}_{3}\\ {x}_{4}=2\end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{3}$ 为自由变量。
将方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}=5\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+2{x}_{4}=1\\ 5{x}_{1}+3{x}_{2}+2{x}_{3}+2{x}_{4}=3\end{matrix} \right.$ 写成增广矩阵形式，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 5 & 3 & 2 & 2 & 3\end{matrix} \right]$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以-2加到第二行，将第一行乘以-5加到第三行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & -1 & 1 & 2 & -9\\ 0 & -2 & 2 & 2 & -22\end{matrix} \right]$。然后，将第二行乘以-1，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & -2 & 2 & 2 & -22\end{matrix} \right]$。接着，将第二行乘以2加到第三行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -4\end{matrix} \right]$。最后，将第三行乘以-1/2，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{matrix} \right]$。
步骤 3：求解方程组
从阶梯形矩阵中，我们可以得到方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}=5\\ {x}_{2}-{x}_{3}-2{x}_{4}=9\\ {x}_{4}=2\end{matrix} \right.$。将 ${x}_{4}=2$ 代入第二个方程，得到 ${x}_{2}-{x}_{3}-4=9$，即 ${x}_{2}-{x}_{3}=13$。将 ${x}_{2}-{x}_{3}=13$ 和 ${x}_{4}=2$ 代入第一个方程，得到 ${x}_{1}+{x}_{2}=5$，即 ${x}_{1}+13+{x}_{3}=5$，即 ${x}_{1}+{x}_{3}=-8$。因此，方程组的通解为 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=-8-{x}_{3}\\ {x}_{2}=13+{x}_{3}\\ {x}_{4}=2\end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{3}$ 为自由变量。