题目
微分方程 '=(e)^2x-y 满足初值条件 (|)_(x=0)=0 的特解为 () .
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $y'={e}^{2x-y}$，可以写成 $\dfrac{dy}{dx}={e}^{2x-y}$。分离变量，得到 ${e}^{y}dy={e}^{2x}dx$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int {e}^{y}dy=\int {e}^{2x}dx$。左边积分得到 ${e}^{y}$，右边积分得到 $\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初值条件
根据初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，代入得到 ${e}^{0}=\dfrac{1}{2}{e}^{0}+C$，即 $1=\dfrac{1}{2}+C$，解得 $C=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：写出特解
将 $C=\dfrac{1}{2}$ 代入积分结果，得到 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}$，即 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}({e}^{2x}+1)$。
给定的微分方程是 $y'={e}^{2x-y}$，可以写成 $\dfrac{dy}{dx}={e}^{2x-y}$。分离变量，得到 ${e}^{y}dy={e}^{2x}dx$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int {e}^{y}dy=\int {e}^{2x}dx$。左边积分得到 ${e}^{y}$，右边积分得到 $\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初值条件
根据初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，代入得到 ${e}^{0}=\dfrac{1}{2}{e}^{0}+C$，即 $1=\dfrac{1}{2}+C$，解得 $C=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：写出特解
将 $C=\dfrac{1}{2}$ 代入积分结果，得到 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}$，即 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}({e}^{2x}+1)$。