题目

求函数(x,y)=(e)^2x(x+(y)^2+2y) 的极值。

求函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。

题目解答

答案

对于二元函数 $f\left(x,y\right)$ ，求极值的步骤为：

（1）求函数的驻点（即满足 $f'_x\left(x_0,y_0\right)=0,f'_y\left(x_0,y_0\right)=0$ 的点）；

（2）利用极值充分条件：

$A=f''_{xx}\left(x_0,y_0\right),B=f''_{xy}\left(x_0,y_0\right),C=f''_{yy}\left(x_0,y_0\right)$

若 $AC-B^2>0$ ， $\left(x_0,y_0\right)$ 为极值点：A<0，为极大值点；A>0，为极小值点。若 $AC-B^2<0$ ， $\left(x_0,y_0\right)$ 不为极值点。由此判定驻点是否为极值点。

本题函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$

求一阶偏导数：

$f'_x(x,y)=2e^{2x}(x+y^2+2y)+e^{2x}=e^{2x}\left(2x+2y^2+4y+1\right)$

$f'_y(x,y)=e^{2x}(2y+2)$

令 $f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$ ,可得驻点： $x_0=\frac{1}{2},y_0=-1$ .

继续求二阶偏导数：

$f''_{xx}(x,y)=4e^{2x}(x+y^2+2y)+2e^{2x}+2e^{2x}=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)$

$f''_{xy}(x,y)=e^{2x}\left(4y+4\right)$

$f''_{yy}(x,y)=2e^{2x}$

可得： $A=f''_{xx}(x_0,y_0)=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=2e$

$B=f''_{xy}\left(x_0,y_0\right)=e^{2x}\left(4y+4\right)\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=e^{2x}\left(4y+4\right)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=0$ $C=f''_{yy}(x_0,y_0)=2e^{2x}\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=2e^{2x}\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=2e$

由极值充分条件进行判断求解： $AC-B^2=2e\cdot2e-0^2=4e^2>0,A=2e>0$

故 $\left(x_0,y_0\right)=\left(\frac{1}{2},-1\right)$ 为极小值点，极小值为 $f(x_0,y_0)=f\left(\frac{1}{2},-1\right)=e^{2x}(x+y^2+2y)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=e^{2\cdot\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}+\left(-1\right)^2-2\right)=-\frac{1}{2}e$

故函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极小值为 $-\frac{1}{2}e$ .

解析

步骤 1：求一阶偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)={e}^{2x}(x+{y}^{2}+2y)$的一阶偏导数${f}_{x}(x,y)$和${f}_{y}(x,y)$。
${f}_{x}(x,y)=2{e}^{2x}(x+{y}^{2}+2y)+{e}^{2x}={e}^{2x}(2x+2{y}^{2}+4y+1)$
${f}_{y}(x,y)={e}^{2x}(2y+2)$
步骤 2：求驻点
令${f}_{x}(x,y)=0$和${f}_{y}(x,y)=0$，解得驻点。
${e}^{2x}(2x+2{y}^{2}+4y+1)=0$
${e}^{2x}(2y+2)=0$
由于${e}^{2x}$不等于0，因此我们有：
$2x+2{y}^{2}+4y+1=0$
$2y+2=0$
解得$y=-1$，代入第一个方程得$x=\dfrac{1}{2}$，所以驻点为$(\dfrac{1}{2},-1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
求出二阶偏导数${f}_{xx}(x,y)$，${f}_{xy}(x,y)$，${f}_{yy}(x,y)$。
${f}_{xx}(x,y)=4{e}^{2x}(x+{y}^{2}+2y)+2{e}^{2x}={e}^{2x}(4x+4{y}^{2}+8y+2)$
${f}_{xy}(x,y)={e}^{2x}(4y+4)$
${f}_{yy}(x,y)=2{e}^{2x}$
步骤 4：利用极值充分条件判断
将驻点$(\dfrac{1}{2},-1)$代入二阶偏导数中，得到：
$A={f}_{xx}(\dfrac{1}{2},-1)=2e$
$B={f}_{xy}(\dfrac{1}{2},-1)=0$
$C={f}_{yy}(\dfrac{1}{2},-1)=2e$
根据极值充分条件，$AC-{B}^{2}=4{e}^{2}\gt 0$，且$A=2e\gt 0$，所以$(\dfrac{1}{2},-1)$为极小值点。
步骤 5：计算极小值
将驻点$(\dfrac{1}{2},-1)$代入原函数$f(x,y)$中，得到极小值。
$f(\dfrac{1}{2},-1)={e}^{2\cdot \dfrac{1}{2}}(\dfrac{1}{2}+(-1)^{2}+2\cdot (-1))=-\dfrac{1}{2}e$