设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 ，已知 是它的 个解向量，且 ，，，求该方程组的通解 .

步骤 1：确定基础解系的个数
四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，因此，对应齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为4-2=2。

步骤 2：确定非齐次线性方程组的特解
已知α1,α2,α3是该非齐次线性方程组的解向量，因此，α1可以作为非齐次线性方程组的一个特解。

步骤 3：确定齐次线性方程组的基础解系
由于α1,α2,α3是该非齐次线性方程组的解向量，因此，α2-α1和α3-α1是对应齐次线性方程组的解向量。计算这两个向量：
${\alpha }_{2}-{\alpha }_{1}={(2,3,1,4)}^{T}-{(1,2,-1,3)}^{T}={(1,1,2,1)}^{T}$
${\alpha }_{3}-{\alpha }_{1}={(1,1,1,2)}^{T}-{(1,2,-1,3)}^{T}={(0,-1,2,-1)}^{T}$
这两个向量线性无关，因此，它们可以作为齐次线性方程组的基础解系。

步骤 4：写出非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组的通解为特解加上齐次线性方程组的通解，即：
$X={\alpha }_{1}+{c}_{1}({\alpha }_{2}-{\alpha }_{1})+{c}_{2}({\alpha }_{3}-{\alpha }_{1})$
其中，c1和c2为任意常数。