题目

28.已知 approx N(8,(0.5)^2), 求-|||-(1)F(9),F(7)-|||-(2) 7.5leqslant Xleqslant 10 -|||-(3) |X-8|leqslant 1 -|||-(4) |X-9|leqslant 0.5

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及累积分布函数和区间概率的求解，需要熟练掌握标准化变换及标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

  1. 标准化变换：将任意正态分布变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$转化为标准正态变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  2. 查表求概率：利用标准正态分布表（Z表）查找对应$Z$值的累积概率。
  3. 区间概率计算：通过差值计算特定区间概率，如$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$。

破题关键点：

  • 准确计算$Z$值，注意符号和小数位。
  • 灵活处理绝对值不等式，如$|X - \mu| \leq k$等价于$\mu - k \leq X \leq \mu + k$。
  • 注意四舍五入误差，题目答案可能基于特定精度的Z表。

第（1）题：求$F(9)$和$F(7)$

计算$F(9)$

  1. 标准化：$Z = \frac{9 - 8}{0.5} = 2$。
  2. 查表：$Z=2$对应累积概率$0.9772$，故$F(9) = 0.9772$。

计算$F(7)$

  1. 标准化：$Z = \frac{7 - 8}{0.5} = -2$。
  2. 查表：$Z=-2$对应累积概率$0.0228$，故$F(7) = 0.0228$（题目答案取$0.02275$，可能为更精确值）。

第（2）题：求$P\{7.5 \leq X \leq 10\}$

步骤分解

  1. 标准化两端：
    • $Z_1 = \frac{7.5 - 8}{0.5} = -1$，对应$F(7.5) = 0.1587$。
    • $Z_2 = \frac{10 - 8}{0.5} = 4$，对应$F(10) \approx 1$（实际值$0.99996$）。
  2. 计算差值：$P = F(10) - F(7.5) \approx 1 - 0.1587 = 0.8413$。

第（3）题：求$P\{|X - 8| \leq 1\}$

转化为区间

  1. 绝对值不等式：$|X - 8| \leq 1 \Rightarrow 7 \leq X \leq 9$。
  2. 标准化两端：
    • $Z_1 = \frac{7 - 8}{0.5} = -2$，对应$F(7) = 0.0228$。
    • $Z_2 = \frac{9 - 8}{0.5} = 2$，对应$F(9) = 0.9772$。
  3. 计算差值：$P = F(9) - F(7) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$（题目答案取$0.9545$，可能为四舍五入）。

第（4）题：求$P\{|X - 9| \leq 0.5\}$

转化为区间

  1. 绝对值不等式：$|X - 9| \leq 0.5 \Rightarrow 8.5 \leq X \leq 9.5$。
  2. 标准化两端：
    • $Z_1 = \frac{8.5 - 8}{0.5} = 1$，对应$F(8.5) = 0.8413$。
    • $Z_2 = \frac{9.5 - 8}{0.5} = 3$，对应$F(9.5) = 0.9987$。
  3. 计算差值：$P = F(9.5) - F(8.5) = 0.9987 - 0.8413 = 0.1574$（题目答案取$0.1573$，可能为更精确值）。