求直线 ) x+y-z-1=0 x-y+z+1=0 .在平面x+y+z=0上的投影直线的方程。

步骤 1：确定平面束方程
设过直线x+y-z-1=0的平面束方程为$(x+y-z-1)+\alpha (x-y+z+1)=0$，其中$\alpha$为参数。这表示所有通过直线x+y-z-1=0的平面都可以用这个方程表示。

步骤 2：化简平面束方程
将平面束方程化简为$(1+\alpha )x+(1-\alpha )y+(-1+\alpha )z+\alpha -1=0$。这一步是为了方便后续的计算和分析。

步骤 3：确定垂直条件
这平面与已知平面x+y+z=0垂直的条件是$(1+\alpha )\cdot1+(1-\alpha )\cdot1+(-1+\alpha )\cdot1=0$。这是因为两个平面垂直的条件是它们的法向量点积为0。这里，我们利用了平面束方程的系数作为法向量的分量。

步骤 4：求解参数$\alpha$
解方程$(1+\alpha )\cdot1+(1-\alpha )\cdot1+(-1+\alpha )\cdot1=0$，得到$\alpha=-1$。这一步是为了找到满足垂直条件的特定平面。

步骤 5：确定投影平面方程
将$\alpha=-1$代入平面束方程中，得到投影平面方程为$y-z-1=0$。这表示通过直线x+y-z-1=0且与平面x+y+z=0垂直的平面方程。

步骤 6：确定投影直线方程
投影直线为$\left \{ \begin{matrix} y-z-1=0\\ x+y+z=0\end{matrix} \right.$。这表示投影直线是投影平面与已知平面的交线。