题目
7.计算曲线积分 =(int )_(1)x(1-2cos y)dx+(xy+(x)^2sin y)dy, 其中L是沿曲-|||-线 =sqrt (2x-{x)^2} 从点A(2,0)到点O(0,0)的一段.(8分)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 从点A(2,0)到点O(0,0)。这条曲线可以看作是圆的一部分，圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，其中心在(1,0)，半径为1。从点A到点O，曲线是圆的下半部分。
步骤 2：应用格林定理
格林定理适用于平面区域D上的第二类曲线积分，其中D是闭合曲线L的内部。对于给定的积分，我们有：
$P = x(1-2\cos y)$
$Q = xy + x^2\sin y$
计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = 2x\sin y$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = y + 2x\sin y$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y$。
步骤 3：计算二重积分
根据格林定理，原曲线积分可以转化为二重积分：
$l = \iint_D y \, dxdy$
其中D是曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 从点A到点O的区域。这个区域可以表示为：
$D = \{ (x,y) | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{2x-x^2} \}$
因此，二重积分可以写为：
$l = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} y \, dy \, dx$
计算内层积分：
$\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} y \, dy = \left. \frac{1}{2}y^2 \right|_0^{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1}{2}(2x-x^2)$
计算外层积分：
$l = \int_0^2 \frac{1}{2}(2x-x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (2x-x^2) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 从点A(2,0)到点O(0,0)。这条曲线可以看作是圆的一部分，圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，其中心在(1,0)，半径为1。从点A到点O，曲线是圆的下半部分。
步骤 2：应用格林定理
格林定理适用于平面区域D上的第二类曲线积分，其中D是闭合曲线L的内部。对于给定的积分，我们有：
$P = x(1-2\cos y)$
$Q = xy + x^2\sin y$
计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = 2x\sin y$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = y + 2x\sin y$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y$。
步骤 3：计算二重积分
根据格林定理，原曲线积分可以转化为二重积分：
$l = \iint_D y \, dxdy$
其中D是曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 从点A到点O的区域。这个区域可以表示为：
$D = \{ (x,y) | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{2x-x^2} \}$
因此，二重积分可以写为：
$l = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} y \, dy \, dx$
计算内层积分：
$\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} y \, dy = \left. \frac{1}{2}y^2 \right|_0^{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1}{2}(2x-x^2)$
计算外层积分：
$l = \int_0^2 \frac{1}{2}(2x-x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (2x-x^2) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$