题目
设L为:从点(1,1)到点(4,2)的直线段,则int_(L)(x+y)dx+(y-x)dy=( )
设L为:从点(1,1)到点(4,2)的直线段,则
$\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=( )$
题目解答
答案
将直线方程表示为 $x = 3y - 2$,其中 $y$ 从 1 到 2,且 $dx = 3dy$。代入曲线积分得:
\[
\int_{1}^{2} [(3y-2+y) \cdot 3 + (y-3y+2) \cdot 1] \, dy = \int_{1}^{2} (10y-4) \, dy = \left[ 5y^2 - 4y \right]_{1}^{2} = 11.
\]
或者表示为 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$,其中 $x$ 从 1 到 4,结果相同。
**答案:** $\boxed{11}$
解析
步骤 1:确定直线方程
从点(1,1)到点(4,2)的直线段,可以表示为 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$,其中 $x$ 从 1 到 4。或者,也可以表示为 $x = 3y - 2$,其中 $y$ 从 1 到 2。这里我们选择 $x = 3y - 2$,因为这样可以简化计算。
步骤 2:代入曲线积分
将直线方程 $x = 3y - 2$ 代入曲线积分 $\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy$,并注意到 $dx = 3dy$。代入后得:
\[ \int_{1}^{2} [(3y-2+y) \cdot 3 + (y-3y+2) \cdot 1] \, dy = \int_{1}^{2} (10y-4) \, dy \]
步骤 3:计算积分
计算积分 $\int_{1}^{2} (10y-4) \, dy$,得:
\[ \int_{1}^{2} (10y-4) \, dy = \left[ 5y^2 - 4y \right]_{1}^{2} = (5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2) - (5 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1) = 20 - 8 - 5 + 4 = 11 \]
从点(1,1)到点(4,2)的直线段,可以表示为 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$,其中 $x$ 从 1 到 4。或者,也可以表示为 $x = 3y - 2$,其中 $y$ 从 1 到 2。这里我们选择 $x = 3y - 2$,因为这样可以简化计算。
步骤 2:代入曲线积分
将直线方程 $x = 3y - 2$ 代入曲线积分 $\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy$,并注意到 $dx = 3dy$。代入后得:
\[ \int_{1}^{2} [(3y-2+y) \cdot 3 + (y-3y+2) \cdot 1] \, dy = \int_{1}^{2} (10y-4) \, dy \]
步骤 3:计算积分
计算积分 $\int_{1}^{2} (10y-4) \, dy$,得:
\[ \int_{1}^{2} (10y-4) \, dy = \left[ 5y^2 - 4y \right]_{1}^{2} = (5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2) - (5 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1) = 20 - 8 - 5 + 4 = 11 \]